Нормальное уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Восстановим из начала координат вектор нормали к данной прямой и единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора . Пусть (если прямая проходит через начало координат, то ). Пусть - угол между вектором и осью абсцисс (в случае, когда в качестве можно взять любое значение). Так как - единичный вектор, то его координаты, равные его проекциям на координатные оси, имеют вид:

.

Очевидно, что точка лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором , равна . Так как , то получаем

.

Следовательно, уравнение прямой может быть записано в виде:

или

.

Такое уравнение называется нормальным уравнением прямой.

Рассмотрим произвольную точку . Пусть - расстояние от этой точки до прямой . Отклонением точки от этой прямой называется расстояние , взятое со знаком плюс, если эта точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и взятое со знаком минус, если эта точка и начало координат лежат по одну сторону от прямой.

Выясним геометрический смысл левой части нормального уравнения. Спроектируем произвольную точку на ось, определяемую вектором . Пусть - полученная проекция, а - точка пересечения прямой с данной прямой. Очевидно, что отклонение точки от данной прямой равно величине вектора . Соответственно получаем:

.

Кроме того,

.

Следовательно,

.

Таким образом, получаем правило: для нахождения отклонения точки от данной прямой следует в левую часть нормального уравнения этой прямой подставить координаты этой точки.

Выясним, как из общего уравнения получить нормальное уравнение. Пусть дано уравнение

.

Найдем множитель , при умножении на который общее уравнение превратится в нормальное. При этом должно выполняться:

.

Возводя в квадрат первые два равенства и затем, складывая их, получим

,

откуда

.

Так как расстояние всегда неотрицательно, то из третьего равенства системы заключаем, что знак должен быть противоположен знаку . Итак, для приведения общего уравнения к нормальному виду следует умножить его на нормирующий множитель, определяемый равенством , при этом знак в последней формуле выбирается противоположным знаку коэффициента . В соответствии с этим получаем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой :

.

Пример.Написать уравнение прямой, проходящей через точки и . Привести это уравнение к нормальному виду и выяснить пересекает ли эта прямая отрезок, соединяющий точки и .

∆ Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через заданные две точки:

.

Умножив на число 12 обе части полученного уравнения, получим общее уравнение:

.

Для приведения его к нормальному виду найдем нормирующий множитель, выбрав его знак, противоположный знаку коэффициента :

.

Умножив на этот множитель, получим нормальное уравнение рассматриваемой прямой:

.

Чтобы выяснить, пересекает ли эта прямая отрезок, соединяющий точки и , найдем отклонения этих точек относительно этой прямой, подставив их координаты в левую часть нормального уравнения:

,

.

Так как отклонения точек и имеют противоположные знаки, то они лежат по разные стороны относительно данной прямой. Таким образом, эта прямая пересекает отрезок, соединяющий указанные точки. ▲