Простейшие задачи в декартовых координатах

Рассмотрим задачу нахождения проекции направленного отрезка на ось. Пусть в пространстве задан направленный отрезок . Предположим, что на оси введены декартовы координаты. Проекцией направленного отрезка на ось называется величина направленного отрезка , началом которого служит проекция точки на ось , а концом – проекция точки на эту ось. Указанная проекция обозначается: . Для нахождения этой проекции перенесем направленный отрезок параллельно самому себе так, чтобы его начало попало на ось . Обозначим через наименьший угол между полученным направленным отрезком и осью . Если - длина рассматриваемого отрезка, то получаем:

.

Рассмотрим теперь задачу нахождения расстояния между двумя точками по известным координатам этих точек. Эта задача уже решена нами на оси. Пусть в пространстве заданы точки и . Очевидно, что расстояние между этими точками равно длине диагонали параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки и . Длина параллельного оси ребра этого параллелепипеда равна, очевидно, абсолютной величине проекции направленного отрезка на ось , т.е., согласно следствию теоремы пункта 1, равна . По аналогичным соображениям длины ребер, параллельных осям и , равны соответственно и . Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу:

.

Заметим, что на плоскости расстояние между точками и определяется равенством:

.

Рассмотрим задачу, связанную с делением отрезка в заданном отношении. Пусть на отрезке задана точка , отличная от границ этого отрезка. Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если

.

Пусть на плоскости заданы точки и . Найдем координаты точки , про которую известно, что она делит отрезок в отношении . Спроектируем точки , и на ось абсцисс. Получим соответственно точки , и . Из подобия треугольников (см. рис.) очевидно, что

.

С другой стороны нам известно, что

,

.

Отсюда следует равенство

.

Аналогично спроектировав рассматриваемые точки на оси , получим формулы для нахождения ординаты точки :

.

Отметим частный случай, когда . В этом случае точка делит отрезок пополам, и мы получаем следующие равенства:

,

.

Заметим, что аналогичные формулы будут справедливы и при делении отрезка в заданном отношении в пространстве.

Пример.Даны точки и . Найти расстояние между этими точками и точку, которая делит отрезок в отношении 2.

∆ Найдем расстояние между данными точками:

.

Пусть точка делит отрезок в отношении 2. Тогда получаем равенства:

,

,

.

Таким образом, искомой точкой является точка . ▲

Геометрические векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами.

Геометрическим вектором (или просто вектором) называется направленный отрезок.

В курсе линейной алгебры были рассмотрены «алгебраические» векторы, представляющие собой в -мерном пространстве упорядоченные наборы чисел. Там же отмечалось, что геометрические векторы (на плоскости или в трехмерном пространстве) являются частным случаем алгебраических векторов. Поэтому все результаты, известные из курса линейной алгебры для алгебраических векторов, переносятся и на случай геометрических векторов.

Будем обозначать вектор символом , если известны начало – точка и конец – точка данного вектора. Если же начало и конец вектора неизвестны или не представляют интереса, то будем обозначать вектор символом . На чертеже вектор будем изображать стрелкой. Длину вектора будем обозначать .

Начало вектора называется его точкой приложения.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что каковы бы ни были вектор и точка всегда можно найти такую точку , что . Другими словами, любой вектор можно отложить из любой точки. В соответствии с этим геометрические векторы называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и противоположные направления.

В трехмерном пространстве векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Введем линейные операции над векторами, т.е. операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число.

Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Произведением вектора на действительное число называется вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора , если , и противоположное направлению вектора , если . Если или , то произведение представляет собой нулевой вектор.

В курсе линейной алгебры были рассмотрены «алгебраические» векторы, представляющие собой в -мерном пространстве упорядоченные наборы чисел и являющиеся элементами векторных пространств. Исходя из геометрических соображений, становится очевидным то, что введенные линейные операции над геометрическими векторами удовлетворяют всем аксиомам векторных пространств, а именно:

I) для любых векторов и выполняется равенство:

;

II) для любых векторов , и выполняется равенство:

;

III) существует нулевой вектор такой, что для любого вектора выполняется равенство:

;

IV) для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий равенству:

;

V) для любого вектора выполняется равенство:

;

VI) для любого вектора и любых чисел выполняется равенство:

;

VII) для любого вектора и любых чисел выполняется равенство:

;

VIII) для любых векторов и и любого числа выполняется равенство:

.

Таким образом, указанные аксиомы можно считать теперь свойствами геометрических векторов, и все результаты, известные из курса линейной алгебры для алгебраических векторов, переносятся и на случай геометрических векторов.

Справедливо следующее утверждение, являющееся критерием коллинеарности векторов.

Теорема.Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует действительное число , такое что .

Доказательство. Достаточность этого утверждения сразу следует из определения произведения вектора на число.

Покажем, что из того, что и коллинеарны, следует, что существует действительное число , такое что . Приложим векторы и к общему началу . Тогда эти векторы расположатся на одной прямой. Возможны два случая: 1) векторы и направлены в одну сторону; 2) указанные векторы противоположно направлены. Пусть и концы векторов и . Так как рассматриваемые векторы являются ненулевыми, то точки и отличны от точки . Если точки и совпадают, то равны векторы и , и равенство очевидно при . Если же точки и различны, то можно говорить о том, что точка делит отрезок в некотором отношении, которое мы обозначим . Тогда справедливо равенство:

,

Или, что то же самое,

.

В случае, когда векторы и направлены в одну сторону, точка лежит вне отрезка , и поэтому , т.е. . Если же векторы и противоположно направлены, то точка лежит внутри отрезка , и поэтому , т.е. .

Покажем, что в обоих случаях . Очевидно, что векторы и коллинеарны. Это следует из определения произведения вектора на число и коллинеарности векторов и . Равенство длин векторов и следует из соотношения и определения произведения вектора на число. Векторы и одинаково направлены, так как , если и одинаково направлены, и , если и противоположно направлены. Таким образом,

. ■