Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми на плоскости

Обратимся к общему уравнению прямой

.

Если , то, как уже отмечалось, получаем уравнение прямой, параллельной оси ординат: . Предположим, что данная прямая не параллельна оси ординат. Угол , отсчитываемый в положительном направлении (против часовой стрелки) от положительного направления оси абсцисс до данной прямой, называется углом наклона этой прямой. Число

называется угловым коэффициентом прямой. Предположим, что угол наклона данной прямой – острый. Пусть - точка пересечения прямой с осью ординат. Из прямоугольного треугольника видно, что точка лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда

,

если угол наклона прямой – острый, и тогда и только тогда, когда

.

Таким образом, и в первом, и во втором случае получаем уравнение прямой

.

Такое уравнение называется уравнением данной прямой с угловым коэффициентом .

Рассмотрим задачу нахождения уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку . Уравнение с угловым коэффициентом будет иметь вид , где неизвестным остался коэффициент . Воспользуемся тем, что координаты точки должны удовлетворять уравнению прямой:

.

Таким образом, получаем следующее уравнение прямой:

или

.

Рассмотрим вопрос о нахождении угла между прямыми. Если две прямые заданы своими общими уравнениями:

,

,

то известны их векторы нормали: и . Угол между прямыми равен углу между этими векторами, т.е. может быть найден по формуле:

.

В частности, указанные прямые будут параллельны, если векторы нормали будут коллинеарны, т.е. когда координаты этих векторов будут пропорциональны:

.

Рассматриваемые прямые будут перпендикулярны, если векторы нормали будут ортогональны, т.е. когда

=0.

Если прямые заданы каноническими уравнениями, то по аналогии с предыдущим случаем угол между ними может быть найден как угол между их направляющими векторами.

Рассмотрим теперь случай, когда известны угловые коэффициенты и прямых. Очевидно, что угол между этими прямыми равен разности , где , - углы наклона данных прямых. Тогда

.

Эта формула и позволяет находить угол с помощью угловых коэффициентов. В частности, условие параллельности имеет вид:

.

Перпендикулярность прямых равносильна равенству:

.

Пример.Найти угол между прямыми

∆ Воспользуемся формулой для нахождения угла через коэффициенты общего уравнения:

.

Следовательно, угол между прямыми равен . ▲

Пример.Найти прямую перпендикулярную к прямой

,

и проходящую через точку .

∆ Приведем уравнение данной прямой к уравнению с угловым коэффициентом:

.

Следовательно, ее угловой коэффициент равен , а уравнение искомой прямой, перпендикулярной данной прямой равен

.

Теперь осталось воспользоваться уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, и проходящей через данную точку:

,

Откуда получаем уравнение искомой прямой:

.