Метод последовательного исключения неизвестных

Методом Гаусса решить систему уравнений:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

Вычисление определителей

9. . 10. . 11. .

12. . 13. . 14. .

15. . 16. . 17. .

18. . 19. . 20. .

Правило Крамера

Решить системы уравнений методом определителей:

21. . 22. . 23. .

24. . 25. . 26. .

27. . 28. . 29. .

30. . 31. . 32. .

33. . 34. . 35. .

36. . 37. .

38. . 39. .

Действия с векторами

40. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы и . Выразить через и векторы: если ОА = 3 и ОВ = 4 (рис. 1).

41. Пусть на рис.1 М – середина ВС и N – середина АС. Определить векторы при ОА = 3 и ОВ = 4.

42. На плоскости даны точки А(0; –2), В(4; 2) и С(4; –2). В начале координат приложены силы . Построить их равнодействующую , найти ее проекции на оси координат и величину. Выразить силы через единичные векторы и координатных осей.

43. В прямоугольнике ОАСВ (рис. 1) М и N — середины сторон ВС = 3 и АС = 4. Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и .

Указание. В условие подставить выражения и через и и сравнить коэффициенты слева и справа при и .

44. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы 40° и 80°. Найти его угол с осью Оу.

45. Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45° и с осью Оу угол 60°. Длина его r = 6. Определить координаты точки М, если ее координата z отрицательна, и выразить вектор через орты .

46. Даны точки А(1; 2; 3) и В(3; –4; 6). Построить вектор , его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора с осями координат.

47. В точке А(2; 1; –1) приложена сила R = 7. Зная две координаты этой силы Х = 2 и Y = –3, определить направление и конец вектора, изображающего силу.

48. На плоскости Оxу даны точки А(4; 2), В(2; 3) и С(0; 5) и построены векторы = и = и = .Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и .

49. В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. 2) угол ВОА = 60°, ОВ = ВС = СА = 2, М и N — середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и через и – единичные векторы направлений .

50. На плоскости даны точки А(3; 3), В(–3; 3) и С(–3; 0). В начале координат приложены силы . построить равнодействующую , найти ее проекции на оси координат и величину. Выразить силы через единичные векторы и координатных осей.

51. В трапеции ОАСВ имеем ВС = ОА/3 и ВС||ОА. Разложить геометрически и аналитически вектор = по векторам = и = .

Указание. Из треугольника ОВС можно выразить через и и затем решить полученное уравнение относительно .

52.Даны точки А(2; 2; 0) и В(0; –2; 5). Построить вектор и определить его длину и направление.

53. Вектор = составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы и построить вектор , если его длина равна .

54. Вектор составляет с осями Оу и Оz углы 60° и 120°. Какой угол он составляет с осью Ох?

55. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1; –2; 3), В(3; 2; 1) и С(6; 4; 4). Найти его четвертую вершину D.

Указание. Из равенства следует, что равны и их координаты: х – 1 = 6 – 3 и т.д.

56. На плоскости Оxу построить векторы и .Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам и .