Криволинейные интегралы по длине дуги

990. Вычислить криволинейный интеграл , где L – отрезок прямой y = 0,5x – 2, заключенный между точками A(0; –2) и B(4; 0).

991. Вычислить криволинейный интеграл , где L – первая арка циклоиды

992. Найти массу участка линии y = ln x между точками с абсциссами x₁ и x₂, если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.

993. Найти массу четверти линии x = e^tcos t, y = e^tsin t, z = e^t от точки, соответствующей t = 0, до произвольной точки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1; 0; 1) равна единице.

994. Вычислить криволинейный интеграл , где L – отрезок прямой, соединяющей точки O(0; 0) и A(1; 2).

995. Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга развертки окружности x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cos t) [0 £ x £ 2π].

996. Найти массу участка цепной линии между точками с абсциссами x₁= 0 и x₂= a, если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке (0; a) равна δ.

997. Найти массу первого витка винтовой линии x = a cos t, y = a sin t, z = bt, плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки.

Криволинейные интегралы по координатам

Вычислить криволинейные интегралы:

998. , где L – контур треугольника, образованного осями координат и прямой , в положительном направлении (т.е. против движения часовой стрелки).

999. , где L – контур четырехугольника с вершинами (указанными в порядке обхода) в точках A(0; 0), B(2; 0), C(4; 4), и D(0; 4).

1000. вдоль линии 1) y = x, 2) y = x², 3) y² = x, 4) y = x³.

1001. , где L – четверть окружности x = R cos t, y = R sin t, от t₁ = 0 до t₂ = .

1002. , где L – полуокружность x = a cos t, y = a sin t от t₁ = 0 до t₂ = π.

1003. , где L – дуга параболы y = x² от точки пересечения ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью ординат.

1004. по отрезку от точки (0; 0) до (π; 2π).

1005. вдоль линии 1) y = x, 2) y = x², 3) y = x³, 4) y² = x.

1006. , где L – эллипс x = a cos t, y = b sin t, пробегаемый в положительном направлении.

1007. , где L – четверть астроиды x = R cos³t, y = R sin³t от точки (R; 0) до точки (0; R).

Двойные интегралы

1008. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

.

1009. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла:

.

1010. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x = 2, y = x и гиперболой xy = 1.

1011. Вычислить с помощью перехода к полярным координатам.

1012. Вычислить , где D – круг x² + y² £ Rx.

1013. Вычислить площадь, ограниченную прямыми x = y, x = 2y, x + y = a, x + 3y = a (a > 0).

1014. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

.

1015. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла:

.

1016. Вычислить , где D – область, ограниченная параболами y = x² и y² = x.

1017. Вычислить , где D – круг x² + y² £ R ².

1018. Вычислить , где D – четверть круга x² + y² £ 1, лежащая в первом квадранте.

1019. Вычислить площадь, лежащую под осью Ox и ограниченную этой осью, параболой y² = 4ax и прямой x + y = 3a.