Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и однородные первого порядка

Решить дифференциальные уравнения:

 

800. . 801. .

802. . 803. . 804. .

 

805. . 806. ; y = 0 при x = 1.

 

807. Найти линию, проходящую через точку (2; 3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.

 

808. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

 

809. . 810. . 811. .

 

812. . 813. .

 

814. ; y = 1 при х = -1.

 

815. ; при х = 1.

 

816. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

 

817. Найти линию, у которой длина полярного радиуса любой ее точки M равняется расстоянию между точкой пересечения касательной в точке M с осью OY и началом координат.

 

Уравнения Бернулли и линейные

Решить дифференциальные уравнения:

 

818. . 819. . 820. .

 

821. . 822. . s = 1 при t = –1.

 

823. . y = –1 при x = 1.

 

824. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.

 

825. . 826. . 827. .

 

828. . 829. .

 

830. ; y = 0,5 при x = 1.

 

831. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания.

 

 

Уравнения, допускающие понижение порядка

Найти общие решения уравнений:

 

832. . 833. . 834. .

 

835. . 836. . 837. .

 

838. . 839. .

 

840. . 841. .

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

 

Найти общие решения уравнений:

 

842. у¢¢ + у¢ - 2у = 0. 843. у¢¢ - 4у¢ = 0. 844. у¢¢ + 6у¢ + 13у = 0.

 

845. y¢¢ - 2y¢ + y = 0. 846. y¢¢¢ + 9y¢ = 0. 847. y⁽⁴⁾ = 8y¢¢ - 16y.

 

848. y¢¢¢ - 13y¢ - 12y = 0. 849. y¢¢ - 9y = 0. 850. y¢¢ - 2y¢ - y = 0.

 

851. 4y¢¢ - 8y¢ + 5y = 0. 852. .

 

853. y⁽⁴⁾ - 13y¢¢ + 36y = 0. 854. y⁽⁴⁾ = 16y. 855. y⁽⁴⁾ + 2y¢¢¢ + y¢¢ = 0.

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

 

Найти общие решения уравнений:

 

856. y¢¢ - 2y¢ + y = e^2x. 857. y¢¢ + 3y¢ + 2y = sin 2x + 2cos 2x.

 

858. y¢¢ + 3y¢ = 9x. 859. y¢¢ + 4y¢ + 5y = 5x² -32x +5.

 

860. y¢¢ - 3y¢ + 2y = e^x. 861. y¢¢ - 2y = xe^-x. 862. y¢¢ - 2y¢ = x² - x.

 

863. y¢¢ + 5y¢ + 6y = e^-x + e^-2x. 864. y¢¢ - 5y¢ + 6y = 13sin 3x.

 

865. y¢¢ + y¢ + 2,5y = 25cos 2x. 866. y¢¢ - 4y¢ + 4y = 3e^2x.

 

Метод вариации произвольной постоянной

Найти общие решения уравнений:

 

867. y′′ + y + ctg²x = 0. 868. . 869. .

 

870. 1) , 2) , 3) .

 

871.

 

Глава 6. Ряды

Последовательности

Написать простейшую формулу п-го члена последовательности по указанным членам:

872. . 873. .

 

По п-му члену последовательности записать ее первые четыре члена и последующий п +1.

874. . 875. . 876. .

 

877. . 878. .

 

Найти пределы выражений при неограниченном росте аргумента:

879. . 880. . 881. .

 

Написать простейшую формулу п-го члена последовательности по указанным членам:

882. . 883. .

 

По п-му члену последовательности записать ее первые четыре члена и последующий п +1.

884. . 885. . 886. .

 

887. . 888. .

 

Найти пределы выражений при неограниченном росте аргумента:

889. . 890. .

 

891. .

 

Теоремы сравнения

Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения (или необходимый признак):

 

892. . 893. . 894. . 895. .

 

896. . 897. . 898. . 899. .

 

900. . 901. .

 

902. . 903. . 904. . 905. .

 

906. . 907. . 908. .

 

909. . 910. . 911. .

 

Признаки сходимости

Исследовать сходимость знакоположительных рядов:

912. . 913. .

 

914. . 915. .

 

916. . 917. .

 

918. .

 

919. . 920. .

 

921. . 922. .

 

923. . 924. .

 

925. .