Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу

 

Минором элемента матрицы А называется определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, содержащих . Минор элемента обозначается как M_ij.

Рассмотрим выражение (2.1) для определителя матрицы А. Соберем вместе все слагаемые, содержащие элемент и вынесем за скобки. Выражение, оставшееся в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента . Обозначается как A_kp.

Замечание 2.1. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы существуют только для квадратных матриц!

Рассмотрим матрицу (A_ij), которая отличается от матрицы А только тем, что на месте элементов в матрице (A_ij) стоят их алгебраические дополнения A_ij . Транспонируем матрицу (A_ij). Полученная таким образом матрица (A_ij)^T называется союзной матрицей (по отношению к матрице А).

 

Теорема о связи минора элемента матрицы с его алгебраическим дополнением. Алгебраическое дополнение A_ij элемента матрицы А и его минор M_ij связаны соотношением

_. (2.3)

 

Пример 2.4. Пусть . Тогда M₁₁=1, A₁₁= M₁₁ =1; M₁₃= , A₁₃= M₁₃ = ; M₃₂=2, A₃₂= M₃₂ = .

 

Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:

A_ij (разложение по i-й строке); (2.4)

A_ij (разложение по j-му столбцу). (2.5)

Следствие. Из (2.3), (2.4) и (2.5) следует, что

M_ij (разложение по i-й строке); (2.6)

M_ij (разложение по j-му столбцу). (2.7)

 

Формулы (2.6) и (2.7) служат основой для вычисления определителей методом разложения их по строке (столбцу), который состоит в непосредственном использовании этих формул.

Пример 2.5. 1) пусть . Вычисление определителя методом разложения его по второму столбцу:

2A₁₂ + 0A₂₂ + 2A₃₂

 

2) вычисление определителя четвертого порядка:

 

 

 

.

 

Теорема об умножении определителей. Пусть A и B – квадратные матрицы размера . Тогда определитель произведения матриц равен произведению их определителей:

. (2.8)

 

Пример 2.6.Пусть , .

Тогда , следовательно, .

С другой стороны, значит .

Таким образом, .

Задачи

 

Вычислить определители второго порядка:

2.1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2.2. а) ; б) ; в) ; г) .

2.3. а) ; б) ; с) .

Решить уравнения относительно :

2.4. . 2.5. . 2.6. .

Вычислить определители третьего порядка:

2.7. а) ; б) ; в) ; г) .

2.8. а) ; б) ; в) ; г) .

2.9. а) ; б) ; в) ; г) .

2.10. а) ; б) ; в) ; г) .

2.11. а) ; б) ; в) .

2.12. а) ; б) ; в) .

2.13. а) ; б) ; в) .

2.14. а) ; б) .

2.15. Показать, что делится на и .

2.16. Показать, что делится на и .

Доказать следующие тождества:

2.17. .

2.18. .

2.19. .

2.20. .

Решить относительно уравнения:

2.21. а) ; б) ; в) .

2.22. . 2.23. .

Решить относительно неравенства:

2.24. . 2.25. .

2.26. . 2.27. .

2.28. .

 

2.29. Построить графики функций:

а) ; б) , .

Вычислить определители четвертого порядка:

2.30. а) ; б) ; в) .

2.31. а) ; б) ; в) .

2.32. а) ; б) .

 

2.33. а) ; б) ; в) .

2.34. а) ; б) ; в) .

 

Вычислить определители пятого порядка:

2.35. а) ; б) ; в) .

2.36. а) ; б) .

 

Вычислить определители n-го порядка:

2.37. ; 2.38. .

2.39. .

2.40. .

 

2.41. .

2.42. Вычислить определитель , где .

2.43. Вычислить определитель , где .

 

РАНГ МАТРИЦЫ

Основные понятия и примеры

 

Ранг матрицы – это особая числовая функция, заданная на множестве матриц. В отличие от определителя, ранг матрицы существует для матрицы любого порядка.

Прежде чем дать определение ранга матрицы, рассмотрим понятие минора матрицы.

Минором k-го порядка матрицы А называется определитель матрицы, составленной из элементов каких-либо k выделенных строк и каких-либо k выделенных столбцов исходной матрицы А.

Понятие минора k-го порядка широко используется в линейной алгебре. В отличие от минора элемента матрицы, минор k-го порядка не связан с конкретным элементом матрицы и существует для любых, а не только для квадратных матриц. Миноров k-го порядка для любой матрицы может быть много. Например, для матрицы порядка количество миноров k-го порядка определяется числом

.

Главным, или угловым минором k-го порядка матрицы называется минор, составленный из первых k строк и первых k столбцов этой матрицы.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается как .

Пример 3.1. Пусть , , . Тогда , , .

 

Любой отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется ее базисным минором.