Понятие определителя и его свойства

Определитель – это особая числовая функция, заданная на множестве квадратных матриц. Прежде чем дать описание этой функции, сделаем несколько определений.

Перестановкой называется всякое расположение чисел в некотором определенном порядке. Канонической перестановкой называется расположение чисел в порядке их возрастания.

Говорят, что в перестановке числа и образуют инверсию (непорядок), если при , или, что то же самое, .

Обозначим через число инверсий в перестановке . Число инверсий зависит от количества элементов в перестановке и порядка их размещения. Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной – в противном случае.

Количество всех различных перестановок n натуральных чисел равно . Максимально возможное число инверсий в перестановке с элементами равно .

Пример 2.1. Пусть , . Тогда (инверсии образуют пары элементов (3, 2), (3, 1), (2, 1)); (инверсии образуют следующие пары элементов: (5, 3), (5, 4), (5, 2), ). Обе перестановки являются нечетными.

Определителем квадратной матрицы A размера называется алгебраическая сумма слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком, определяемым числом инверсий в перестановке индексов столбцов элементов этого произведения при условии, что индексы строк этих элементов образуют каноническую перестановку.

Следующая формула представляет собой формальное математическое выражение, определяющее значение определителя матрицы:

. (2.1)

Формулу (2.1) можно переписать в следующем виде:

, (2.2)

где означает множество всех перестановок , то есть, суммирование в (2.2) ведется по всем возможным перестановкам индексов столбцов элементов матрицы.

Определитель матрицы порядка называется определителем n-го порядка.

Формулы (2.1) и (2.2) громоздки и неудобны для практического использования при больших значениях . Тем не менее, непосредственно из них следуют следующие простые схемы вычисления определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков:

1. Определитель первого порядка (определитель матрицы-скаляра, ), равен единственному элементу этой матрицы-скаляра, т.е., .

2. Определитель второго порядка ( ) равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали матрицы, т.е.,

.

3. Определитель третьего порядка ( ) может быть вычислен по правилу Саррюса, основанному на простой геометрической схеме:

Рис. 2.1. Схема Саррюса

Согласно правилу Саррюса, определитель матрицы равен сумме произведения элементов главной диагонали матрицы и произведений элементов, лежащих на треугольниках с основаниями, параллельными главной диагонали этой матрицы за вычетом произведения элементов побочной диагонали и произведений элементов, лежащих на треугольниках с основаниями, параллельными побочной диагонали этой матрицы. Эти треугольники показаны на рис. 2.1.

Таким образом,

.

Пример 2.2. ; ;

.

Для вычисления определителей четвертого и более высоких порядков применяются различные способы, наиболее распространенным из которых является приведенный ниже способ разложения определителей по строке или столбцу.

Вместе с тем определители произвольного порядка обладают следующими полезными свойствами.

Основные свойства определителей

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю.

3. При перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет свой знак.

4. Если матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

5. Определитель матрицы, в которой все элементы какой-либо строки (столбца), и только они, умножены на произвольное число, равен определителю исходной матрицы, умноженному на то же самое число.

6. Определитель матрицы не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) этой матрицы прибавить любую другую ее строку (столбец), умноженную на произвольное число.

Пример 2.3.Свойство 1.Пусть . Тогда ;

; .

Свойство 2.Пусть . Тогда .

Свойство 3.Пусть , .

Тогда ; .

Свойство 4.Пусть . Тогда .

Свойство 5.Пусть . . Тогда ; .

Свойство 6.Пусть . Прибавим к 1-й строке A вторую, умноженную на 7. Тогда ; ; , то есть .

Квадратная матрица А называется невырожденной, если . В противном случае она называется вырожденной.