Операции над матрицами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Национальный исследовательский

Томский государственный университет

 

 

В.И. Рюмкин

 

 

МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ В ЭКОНОМИКЕ

 

Томск

ББК

Б 51

УДК 519.8.32.8

 

В учебном пособии приведены краткие сведения из теории матричной и векторной алгебры. Представлено матричное описание простейших экономических моделей. Даны практические рекомендации по применению элементов матричной и векторной алгебры для решения прикладных задач экономики. Представлены примеры задач для самостоятельной работы.

Учебное пособие разработано для студентов экономического факультета дневной и вечерней форм обучения ТГУ, а также студентов Высшей школы бизнеса ТГУ.

 

 

УДК 519.8.32.8

 

 

Рецензент – профессор С.Н. Колупаева

 

 

© Рюмкин В.И.

МАТРИЦЫ

Определения

 

Произвольная совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется числовой матрицей порядка (размера) . Сами числа, образующие матрицу, называются ее элементами. Пронумеруем строки матрицы сверху вниз и столбцы слева направо. Элемент матрицы A, стоящий в i-й строке и j-м столбце, обозначается как . Числа i и j при этом называются соответственно индексом строки и индексом столбца элемента матрицы. Они определяют местоположение данного элемента в матрице.

Общепринятыми формами записи матриц являются следующие:

.

Индекс матрицы показывает число строк и столбцов, содержащихся в этой матрице, и приписывается в случае, когда необходимо подчеркнуть размер (порядок) этой матрицы.

Если у матрицы имеется только одна строка и один столбец, т.е., , то такая матрица называется скаляром. Матрица, у которой имеется только одна строка ( ), называется вектор-строкой; матрица, у которой имеется только один столбец ( ), называется вектор-столбцом. Вектор-столбцы принято помечать сверху стрелкой. Запись означает, что представляет собой вектор-столбец, состоящий из n числовых элементов.

Если количества строк и столбцов матрицы равны между собой, то есть , то такая матрица называется квадратной. Элементы квадратной матрицы, у которых индексы строки равны индексам столбца, называются элементами главной диагонали этой матрицы. Элементы главной диагонали лежат на отрезке прямой, проведенной из левого верхнего в правый нижний угол квадратной матрицы. Элементы квадратной матрицы, которые лежат на отрезке прямой, проведенной из правого верхнего в левый нижний угол, называются элементами побочной диагонали этой матрицы. Индексы элементов побочной диагонали удовлетворяют условию . Нулевой матрицей О называется произвольная матрица, все элементы которой равны нулю. Единичной матрицей Е называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю. Треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой над главной диагональю или под главной диагональю равны нулю. Квадратная матрица называется симметрической, если для всех ее элементов выполняется соотношение , и кососимметрической, если . Элементы главной диагонали кососимметрической матрицы всегда равны нулю.

Пример 1.1. (1) – скаляр; вектор-строка; вектор-столбец; единичные матрицы; нулевая матрица; треугольная матрица; симметрическая матрица; кососимметрическая матрица.

 

Операции над матрицами

 

Операции сравнения: матрицы А и В называются равными (пишут ), если они имеют одинаковый порядок и все их элементы с одинаковыми индексами равны:

.

Говорят, что матрица A больше матрицы B (пишут ), если они имеют одинаковый порядок, причем

.

Операция сложения: суммой двух матриц A и B одного и того же порядка называется матрица C того же порядка, элементы которой определяются формулами

.

Пример 1.2. Пусть , . Тогда .

Операция умножения матрицы на число: любую матрицу A можно умножить на произвольное число k как слева, получив матрицу , так и справа, получив матрицу . При этом матрицы B и C равны между собой, имеют тот же порядок, что и матрица A. Элементы матриц и определяются формулами .

Пример 1.3. Пусть , . Тогда .

 

Свойства операций сложения и умножения матриц на число

 

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. .

 

Операция вычитания матрицы B из матрицы A определяется следующим образом: . Матрица называется матрицей, противоположной матрице A.

Операция умножения матрицы на матрицу: произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C, элементы которой определяются формулами

,

где число элементов в строках матрицы A и в столбцах матрицы B. Произведение имеет столько же строк, сколько левый сомножитель A и столько же столбцов, сколько правый сомножитель B.

Пример 1.4. 1) Пусть , . Тогда .

2) Пусть , . Тогда

;

.

 

В общем случае . Матрицы A и B, для которых , называются коммутативными (перестановочными). Единичная и нулевая матрицы коммутативны с любой матрицей, на которую их можно умножить.

 

Свойства операции умножения матрицы на матрицу

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. .

 

Операция возведения матрицы в степень. Пусть k есть целое неотрицательное число. Тогда k-й степенью матрицы A называется результат умножения матрицы A самой на себя k раз. По определению полагаем:

Число k при этом называется показателем степени.

 

Свойства операции возведения матрицы в степень

 

1. ,

2. .

 

Пример 1.5. Пусть . Тогда ; ; .

 

Операция транспонирования матрицы. Пусть произвольная матрица порядка . Матрица , состоящая из элементов, удовлетворяющих условию , называется транспонированной матрицей A и обозначается . Строки матрицы состоят из элементов столбцов матрицы A, а столбцы – из элементов строк матрицы A:

 

.

 

Свойства операции транспонирования матрицы

 

1. ,

2. .

Пример 1.6. Пусть . Тогда .

 

Операции элементарных преобразований над матрицами. Специальный класс операций над матрицами представляют операции, называемыми элементарными преобразованиями. К элементарным преобразованиям относятся следующие операции над матрицами:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля. Все другие элементы матрицы при этом остаются неизменными.

2) прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой ее строки (столбца), умноженных на одно и то же произвольное число. Все другие элементы матрицы при этом остаются неизменными.

3) перестановка двух каких-либо строк (столбцов) матрицы местами.

 

Теорема о представлении элементарных преобразований матриц операциями умножения. Справедливы следующие утверждения.

1. Умножение i-й строки матрицы на число эквивалентно операции умножения на эту матрицу слева квадратной матрицы вида

(1.1)

(число находится в i-й строке и i-м столбце; все остальные элементы – как в единичной матрице).

2. Прибавление к i-й строке матрицы ее j-й строки, умноженной на число , эквивалентно операции умножения на эту матрицу слева квадратной матрицы L вида

(1.2)

(число находится в i-й строке и j-м столбце; все остальные элементы – как в единичной матрице).

3. Перестановка строк матрицы местами может быть осуществлена конечной последовательностью умножений на эту матрицу слева специальных матриц вида (1.1) и (1.2).

Пример 1.7.Пусть . Тогда справедливы следующие представления:

а) умножение третьей строки матрицы A на 4:

.

 

б) прибавление ко второй строке матрицы А ее четвертой строки, умноженной на 3:

.

в) смена местами первой и третьей строк матрицы А:

1) прибавление к третьей строке матрицы А ее первой строки, умноженной на –1, то есть :

;

2) прибавление к первой строке полученной матрицы В ее третьей строки, умноженной на 1: :

;

3) прибавление к третьей строке полученной матрицы D ее первой строки, умноженной на –1, то есть :

;

4) умножение третьей строки полученной матрицы F на –1, то есть :

.

Таким образом, к смене мест первой и четвертой строк матрицы А ведет следующее преобразование:,

где

; ; ; .