Характеристические числа и векторы

Любое линейное преобразование однозначно определяет матрицу А оператора в заданном базисе пространства .

Ненулевой вектор называется характеристическим (собственным) вектором квадратной матрицы , принадлежащим ее собственному значению , если после преобразования он переходит в вектор, отличающийся от лишь на постоянный множитель , то есть, если

. (6.7)

Числовой множитель называется характеристическим корнем (собственным значением) матрицы А оператора .

Для любого собственного вектора матрицы А, принадлежащего собственному значению и любого числа вектор также является собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению .

Многие прикладные задачи экономики сводятся к проблеме отыскания собственных значений и собственных векторов матриц.

Уравнение (6.7) может быть представлено в виде

. (6.8)

Матрица называется характеристической матрицей.

Нетривиальное (ненулевое) решение уравнения (6.8) существует лишь в том случае, если определитель характеристической матрицы равен нулю:

. (6.9)

Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением. Если А – матрица порядка , то характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением степени n относительно :

.

Это уравнение имеет n не обязательно различных корней причем некоторые из них могут быть комплексными числами. Каждому из этих характеристических корней соответствует характеристический вектор, определенный с точностью до постоянного множителя.

Пример 6.2. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид . Уравнение имеет два корня: , . Характеристическими векторами, соответствующими и , являются вектора и , где с – произвольная константа. Произвольные константы часто исключают из рассмотрения, вводя нормализованные векторы. В данном примере нормализованными векторами являются и .

Свойства характеристических корней

1. Сумма характеристических корней равна следу матрицы:

2. .

3. Произведение характеристических корней равно определителю матрицы: .

4. Число ненулевых характеристических корней матрицы совпадает с рангом этой матрицы.

5. Характеристическими корнями диагональной матрицы являются элементы ее главной диагонали.

6. Для симметрических матриц все n собственных значений являются вещественными числами.

Согласно теореме Гамильтона-Кэли, матрица А является корнем своего характеристического уравнения:

Теорема Гамильтона-Кэли. Пусть характеристическим уравнением матрицы А является уравнение

.

Тогда справедливо матричное уравнение

.

В некоторых случаях интерес представляет задача отыскания собственных векторов, принадлежащих собственному значению . Достаточные условия существования такого собственного вектора вытекает из следующей теоремы.

Теорема о единичном собственном значении. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному числу 1.

Во многих связанных с отысканием собственных векторов прикладных задачах экономики содержательный смысл имеют только собственные вектора с положительными компонентами. Условия существования таких векторов даются теоремой Фробениуса-Перрона.

Теорема Фробениуса-Перрона. Пусть А – неотрицательная квадратная матрица. Тогда:

1. Максимальное по модулю собственное значение матрицы А неотрицательно. Среди собственных векторов, принадлежащих имеется неотрицательный вектор.

2. В случае все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению . Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора и отличаются лишь числовым множителем, то есть, .

Задачи

В задачах (6.1-6.3) векторы и заданы своими координатами в некотором базисе G. Доказать, что система также является базисом и найти координаты вектора в этом базисе.

6.1. , , , .

6.2. , , , .

6.3. , , , ,

В задачах (6.4) и (6.5) векторы и заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы векторов и также являются базисами. Найти матрицу перехода от базиса G к базису .

6.4. , , ; , , .

6.5. , , , ;

.

Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно):

6.6. . 6.7. . 6.8. .