Предельный спрос по бюджету и предельный спрос по ценам

пропорциональное изменение цен и дохода не влияет на величину спроса. Следовательно, функция спроса является однородной функцией нулевой степени.

Воспользовавшись теоремой Эйлера об однородной функции, получим:

или

, (2.30) , (2.31)

- коэффициент перекрестной эластичности спроса на i-е благо по цене на k-е благо,

- коэффициент эластичности спроса на i-е благо по бюджету потребителя М. Вывод: для каждого i-го блага сумма всех I перекрестных эластичностей спроса по цене и эластичности спроса по доходу должна быть равна нулю, т.е. сумма всех эластичностей по цене равна отрицательной эластичности по доходу.

По знаку коэффициента эластичности спроса по бюджету потребителя блага классифицируются на ценные и малоценные.

Широкое применение получили частные коэффициенты эластичности, которые характеризуют влияние на потребление какого-либо одного фактора. В частности, коэффициент эластичности спроса по цене характеризует изменение спроса при изменении цены данного товара или цен других, связанных с ним товаров.

Если , то спрос на i-е благо растет с ростом цены на k-е благо (блага i-е и k-е являются взаимозаменяющими). Если , то спрос на i-е благо падает с ростом цены на k-е благо (блага i-е и k-е являются взаимодополняющими). Если , то блага являются независимыми.

Если в соотношении (2.31) положить i=k, то получим

- прямой коэффициент эластичности спроса на i-е благо по цене на это же благо. От знака эл-ти – нормальное или особенное (гиффен)

Вопрос 7. Экономическое содержание двойственности. Способы получения и практическое использование оценок ресурсов и технологий.

Концепция двойственности в экономических задачах может быть сформулирована фразой: получить максимальный результат (в виде прибыли) с минимальными затратами. Т.е. одинаково важен и результат, и затраты. Особенно в сферах производства и потребления. Правильная постановка задачи: максимизировать количественный критерий при ограниченных затратах.

Простейшая модель оптимизации производства по критерию максимума дохода в случае, когда для производства j-й продукции используется один способ производства Т_j ( j = 1,2,..., n).

(2.7-2.9)

Состояние производственной системы задается вектором интенсивностей использования технологий Т₁,..., Т_n. Вектор “выпуск-затраты”, описывающий функционирование производственной системы, имеет вид . Выпуск товарной продукции = , а затраты i-го ресурса = .

Каждый ресурс обладает “теневой ценой”, определяющей ценность данного ресурса для предприятия с точки зрения дохода от реализации продукции и зависящей от наличного запаса и потребности в нем для выпуска. Если исп-ся только 1 ресурс и его надо много, то теневая цена этого ресурса будет велика. Этот произв. способ нерационален.

Эконом рез-т совп с затрач-и ресурсами, исчисл-ми в их теневых ценах. Оптимальные теневые цены называют объективно обусловленными оц (о.о.о.) или оптимальными оц, или двойственными.

Для определения о.о.о. ресурсов составим самостоятельную задачу ЛП.

у_i ( i =1,2,..., m) - о.о.о. i-го ресурса. Надо чтобы сумма теневых цен ресурсов, затрачиваемых при любом используемом производственном способе, не была меньше величины дохода р_j :

Таким образом, задача определения о.о.о. ресурсов формулируется как следующая оптимизационная задача:

Задача ЛП (2.21)-(2.23) называется двойственной задачей. Связь:

- прямая на максимум, двойственная — на минимум;

- коэффициенты целевой функции в прямой задаче являются свободными членами в ограничениях двойственной задачи и наоборот;

- коэффициенты при переменных в ограничениях двойственной задачи являются столбцами матрицы коэффициентов ограничений прямой задачи;

- знаки неравенств в системе ограничений прямой задачи меняются на противоположные в системе ограничений двойственной задачи.

Установим связь между решениями прямой и двойственной задач линейного программирования. Примем в прямой задаче переменные x₁,..., x_n за свободные и сформулируем ее в виде модели, обозначив переменные группы t_i через переменные x_{n+ i} :

с = 0 - ® max;

x_{n+ i} = b_i - , x_{n+ i} ³ 0 (i=1,2,..., m);

х_j ³ 0 (j=1,2,..., n).

В двойственной задаче примем за свободные переменные у₁,..., у_m и сформулируем ее в следующем виде:

q = 0 +

у_{m+ j} = -

у _i ³ 0; ( i =1,2,..., m).

у_{m+ j} — превышение теневой цены вектора затрат по i-му способу над доходами, выраженными в р _j.

Задачи описываются одной и той же матрицей, в которой должно быть установлено следующее соответствие между переменными:

(2.26)

Любое преобразование матрицы (2.24) по правилам симплекса приводит к новой матрице, которая описывает новое допустимое (или опт) решение.

Теоремы Дв-ти:

1)равенство экстремальных значений целевых функций (верхний левый угол таблиц коэффициентов в последней симплекс-таблице). Те в оптимальном состоянии суммарный выпуск предприятия совпадает с затратами производственных ресурсов, исчисленными в их теневых ценах.

2) свободные переменные в оптимальном решении прямой задачи (принимают нулевое значение) соответствуют базисным переменным оптимального решения двойственной задачи (принимают положительные значения) и наоборот. Таким образом, справедливы следующие соотношения “дополняющей нежесткости”:

(2.28)

Если i-й производственный ресурс является недефицитным (выражение в скобках положительно), то его теневая цена равна нулю т.е. y=0. Если j-й производственный способ является интенсивным, т.е. , то величина выпуска р _j совпадает с затратами производственных ресурсов по этой технологии (т.е скобка=0).

Свойства двойственных оценок: