Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица и частотному критерию Михайлова

После вычисления коэффициентов характеристического уравнения заполняется квадратная табличка-матрица для определения устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица:

.

Так как рассматриваемое характеристическое уравнение имеет четвертый порядок, то единственным нетривиальным условием, определяющим устойчивое состояние системы, будет положительность предпоследнего определителя:

.

Из отрицательности предпоследнего определителя делаем вывод о неустойчивости системы. Определим нижний и верхний пределы, в которых должна лежать величина коэффициента усиления  при обеспечении устойчивости системы.

Нижний предел определяется из условия нахождения коэффициента  на грани нарушения тривиального условия, т.е. , откуда

.                                                       (7)

Верхний предел коэффициента усиления  находится из условия :

                                  (8)

.

Для систем более высокого порядка использование алгебраического критерия Гурвица превращается в весьма громоздкую операцию и затрудняет оценку параметров системы на ее устойчивость. Поэтому большой интерес представляет предложенный А.В. Михайловым достаточно простой, удобный и наглядный графоаналитический критерий устойчивости.

В данном случае рассматриваемое уравнение четвертого порядка

.

Обозначив характеристический многочлен, находящийся в его левой части, через , получим

.

Подставим теперь в это выражение  вместо . При этом  в общем случае не равно нулю, если только  не является корнем рассматриваемого уравнения. В этом случае

,

где

                                             (9)

Величина  является комплексным числом, которое может быть изображено на комплексной плоскости. Если теперь начать изменять параметр  от до , то конец вектора  опишет на комплексной плоскости некоторую кривую, которая называется кривой Михайлова, являющейся годографом вектора  при  и дающей ответ об устойчивости системы.

Формулировка критерия устойчивости Михайлова такова.

Если результирующий угол поворота вектора  при изменении  от до  равен , то система устойчива. Если же этот угол отличается от , то система неустойчива. При этом за положительный угол поворота считается направление против часовой стрелки. Для уравнения четвертой степени в устойчивой системе конец вектора  должен повернуться вокруг начала системы координат на результирующий угол  и описать годограф. Таким образом, для найденного  получаем годограф следующего вида (рис.19).

Рисунок 19. Годограф Михайлова

Полученная кривая не удовлетворяет исходным условиям. Таким образом, и алгебраический критерий Гурвица, и критерий Михайлова показали, что система с коэффициентом усиления регулятора  является неустойчивой.

8. Нахождение области допустимых значений параметра системы АРВ пропорционального действия –

Как было установлено в предыдущем пункте, система является неустойчивой при . Необходимо установить такое значение этого коэффициента, при котором корни характеристического уравнения движения системы располагаются только в левой полуплоскости. Это можно осуществить с помощью -разбиения по одному параметру. Для этого характеристическое уравнение необходимо привести к виду

,

где

 – совокупность членов, не зависящих от ;

 – совокупность членов, содержащих  множитель.

;

;

;

.

Граница - разбиения определится при  уравнением

,                              (10)

откуда

.

По этому выражению находится значение параметра  (в общем случае комплексного ), при котором уравнение (10) имеет один мнимый корень. Давая  значение от  до , можно вычислить  и и построить на комплексной плоскости  границу -разбиения (рис. 20). Теперь при изменении параметра  от  до  в плоскости  движемся по границе - разбиения и штрихуем ее слева. Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка. Поэтому в этой области будет содержаться наибольшее число левых корней.

Рисунок 20. Кривая D-разбиения по одному параметру

Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, зададимся каким-либо значением , лежащим в этой области. Пусть . Используя критерий Михайлова, проверим систему на устойчивость.

Для этого пересчитаем коэффициенты, содержащие :

;

Тогда по формуле (9):

.

Остальные значения останутся прежними.

По полученным значениям строим годограф (рис.21):

Рисунок 21. Годограф Михайлова для

Вид годографа удовлетворяет необходимым условиям, поэтому данная область является областью устойчивости.

Так как исследуемый параметр является вещественным числом, то из полученной области выделяется только отрезок устойчивости, представляющий собой отрезок вещественной числовой оси, лежащей в области устойчивости , (рис. 20). Причем, координаты точек пересечения вещественной оси кривой -разбиения  и  равны значениям этих же коэффициентов, найденных по выражениям (7) и (8) в соответствии с алгебраическим критерием Гурвица.