Проверка статической устойчивости системы без учета действия АРВ и определение зависимости изменения угла во времени

Проверка статической устойчивости нерегулируемой системы (без учета действия АРВ) заключается в исследовании уравнения движения ротора машины:

,

которое после линеаризации принимает вид:

,

где

 – синхронизирующая мощность в окрестности угла .

Здесь и в дальнейшем будем пренебрегать активными сопротивлениями системы, а также реактивной проводимостью трансформатора ввиду малости их значений. Тогда величина результирующего сопротивления системы будет равна взаимному сопротивлению, найденному из упрощенной схемы передачи, изображенной на рис. 10:

Рисунок 10. Упрощенная схема замещения нерегулируемой системы

Сначала рассмотрим так называемую консервативную систему, в которой отсутствует обмен энергии с окружающей средой, что будет соответствовать равенству нулю демпферного момента ( ) в уравнении движения ротора. Определим при этом условии частоту и период колебаний ротора генератора при отклонении его на один градус для следующих начальных значений угла: ; ; .

Характеристическое уравнение движения ротора имеет вид

.

Тогда на восходящем участке угловой характеристики генератора в диапазоне рабочих углов  корни характеристического уравнения будут выражаться чисто мнимыми числами, что указывает на колебательный характер движения ротора с неизменной амплитудой. Это соответствует квазиустойчивому состоянию системы. С возрастанием рабочего угла  будет также возрастать и период колебания ротора, определяемый корнями характеристического уравнения

.

Частота колебаний может быть выражена либо в , либо в :

,

.

Период колебаний – это величина, обратная частоте

.

Тогда решение уравнения движения ротора имеет вид

.

При работе на нисходящем участке угловой характеристики, что соответствует углам  больше , синхронизирующая мощность будет отрицательна, и один из корней характеристического уравнения будет выражен действительным положительным числом, что соответствует неустойчивому состоянию системы.

Проведем вычисления и занесем их в таблицу 3, а кривые, иллюстрирующие движение ротора генератора при этих условиях представим на рис. 11.

Таблица 3

	1,132	5,521	j 5,521	0,879	1,138
	0,887	4,886	j 4,886	0,778	1,286
	-0,478	j 3,589	j 3,589	j 0,571	-j 1,751

Рисунок 11. Изменение приращения угла  при :

кривая 1 для ;

кривая 2 для ;

кривая 3 для

При учете демпферного момента корни определяются из следующего характеристического уравнения:

,

.

Решение линеаризованного уравнения второго порядка имеет вид

.

Постоянные интегрирования  и  определяются из начальных условий:

;

.

Решив совместно эти два уравнения, можно определить искомые постоянные:

,

 .

Таким образом,

.

Из курса теории автоматического управления известно, что необходимым и достаточным признаком устойчивости линейной системы второго порядка является положительность всех коэффициентов ее характеристического уравнения. В этом случае возврат системы к прежнему состоянию при отклонении одного или нескольких определяющих параметров будет происходить либо по периодическому закону с затухающей амплитудой, либо по затухающей экспоненте.

Известно, что колебательный процесс возникает при наличии комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения. Этот режим возможен при сравнительно малых углах  и, соответственно, значительных величинах синхронизирующей мощности . Тогда в выражениях для корней характеристического уравнения вычитаемое под знаком радикала по абсолютной величине будет больше уменьшаемого, и корни выражаются комплексно-сопряженными числами:

,

где

 – декремент затухания амплитуды колебаний:

– частота колебаний.

Увеличение угла нагрузки генератора  будет сопровождаться уменьшением величины синхронизирующей мощности , и при определенных условиях подкоренное выражение обращается в нуль. Угол , при котором наступает это равенство, носит название граничного угла и может быть подсчитан по формуле:

, где ,

Тогда величина граничного угла определяется выражением

При значениях угла  процесс носит колебательный характер, а в диапазоне  процесс будет носить апериодический характер, так как в этом случае оба корня характеристического уравнения выражаются отрицательными действительными числами.

При достижении углами нагрузки значений больше  синхронизирующая мощность  становится отрицательной, что приводит к появлению корня, выраженного действительным положительным числом, и система теряет устойчивость.

Для всех рассмотренных режимов по вышеприведенным формулам был проведен расчет, результаты которого занесены в таблицу 4, а зависимости  представлены на графиках (рис. 12).

Таблица 4

	1,132	-1,286+j 5,369	-1,286-j 5,369
	0,887	-1,286+j 4,714	-1,286-j 4,714
	0,04	-0,518	-2,053
	-0,478	2,527	-5,098

Рисунок 12. Колебания ротора синхронного генератора при :

                           кривая 1 для ;

                           кривая 2 для ;

                                 кривая 3 для ;

                            кривая 4 для .