Колебания с сопротивлением

Если учесть сопротивление среды пропорциональное скорости, как это было сделано выше, дифференциальное уравнение колебаний получится таким

. (21)

Решение его состоит из общего и частного решений. Общее мы уже находили выше. Например, при малом сопротивлении (n < k)

где

Частное решение будем искать в виде . Чтобы определить коэффициенты А и , подставим это решение в уравнение (21). Получим

(правую часть уравнения (21) представили как синус суммы двух углов: . Полученное уравнение обратится в тождество, если будут выполнены два условия (сгруппировав члены, содержащие и :

и

Из этих уравнений получим

Полное решение уравнения (21) будет таким

(23)

Очевидно, за счет сопротивления с течением времени первый член стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что установившиеся вынужденные колебания и с учетом сопротивления среды будут гармоническими.

Причем, во-первых, частота колебаний равна частоте изменения возмущающей силы; во-вторых, колебания не зависят от начальных условий и, в-третьих, амплитуда колебаний А зависит от частоты р и от сопротивления среды, характеризующегося коэффициентом n .

График этой зависимости от р и n дан на рис.10.

Из графика видно, что при сопротивлении амплитуда колебаний – конечная величина. И максимум амплитуды будет не при p = k, а при несколько меньшей частоте . Ее можно определить, отыскав максимум амплитуды А или, лучше, минимум функции F=(k²-p²)²+4n²p²

Приравняв к нулю производную, найдем И тогда величина максимальной амплитуды, подставив в (22),

68.Коэффицент затухания

Коэффициент затухания - это постепенное ослабевание собственных колебаний, обусловленное потерями энергии колебательной системой и приводящее к уменьшению амплитуды колебаний.

Из рисунка видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает со временем. Характеристикой затухания является время релаксации τ. Промежуток времени t = 1/b - это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Затухание колебаний характеризуют также логарифмическим декрементом затухания λ

l = ln[A(t)/A(t+T)] = bT= T/t

е А(t) – текущая амплитуда колебаний (А(t) = q₀e^-bt), Т – период колебаний. По своему смыслу величина, обратная T/t определяет число колебаний Ne, совершаемых за время релаксации. Следовательно, логарифмический декремент затухания - величина, обратная числу N_e.

69.Гармонические колебания

Гармонические колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону.

Гармонические колебания могут быть записаны в форме: х = Asin (ωt + φ) или х = Acos (ωt + φ)

где х — значение колеблющейся величины в данный момент времени t (для механических Г. к., например, смещениеили скорость, для электрических Г. к. — напряжение или сила тока), А — амплитуда колебаний, ω — угловаячастота колебаний, (ω + φ) — фаза колебаний, φ — начальная фаза колебаний.