Кинетическая энергия вращающегося тела

Вращение тела вокруг неподвижной оси z (рис5.17). Линейная скорость элементарной массы  равна , где  – расстояние массы  от оси z. Кинетическая энергия i-й элементарной массы в таком случае равна:

Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энергий его частей:

,

где I –момент инерции тела вокруг оси вращения.

Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идёт на приращение его кинетической энергии:

Тело вращается вокруг произвольной точки, совпадающей с его центром масс. Начало декартовой системы координат поместим точно в центр масс тела. Скорость i-й элементарной массы равна . Кинетическая энергия в таком случае равна:

,

где – угол между векторами  и .

Если оси связанной с телом системы координат выбрать так, чтобы они совпали с главными осями инерции тела:

,

Здесь , ,  – главные моменты инерции тела. Для шарового волчка эти моменты имеют одинаковые значения I, тогда формула принимает вид: /

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости в трёх случаях: 1) для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси; 2) для тела, вращающегося вокруг одной из главных осей инерции; 3) для шарового волчка. В остальных случаях кинетическая энергия определяется более сложными формулами.

Кинетическая энергия при плоском движении.

Плоское движение тела может быть представлено в виде наложения двух движений – поступательного с некоторой скоростью  и вращательного с угловой скоростью ω. Скорость i-й элементарной массы равна:

,

где  – скорость некоторой точки O тела,  – радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке O.

Кинетическая энергия i-й элементарной массы равна:

,

Векторное произведение ω на  имеет модуль, равный , где  – расстояние массы  до оси вращения. Тогда выражение для кинетической энергии преобразуется следующим образом:

,

Чтобы получить кинетическую энергию тела, просуммируем полученное выражение по всем элементарным массам:

,

Сумма элементарных масс  есть масса тела . Выражение , где  – радиус-вектор центра масс тела C.  – момент инерции тела  относительно оси, проходящей через центр масс. В таком случае, ,  – скорость центра масс, тогда формула для кинетической энергии принимает свой окончательный вид:

Кинетическая энергия тела при плоском движении складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

Гироскопы

Гироскопы (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии.

Эта ось является одной из главных осей симметрии, если она не поворачивается в пространстве, то момент инерции равен , где  – момент инерции относительно оси гироскопа. В случае же если ось гироскопа поворачивается с некоторой скоростью , то результирующее вращение гироскопа происходит вокруг оси, не совпадающей с осью симметрии (вектор  не совпадает с направлением оси гироскопа). Если скорость собственного вращения гироскопа  много больше скорости вращения оси ( ,то момент импульса гироскопа направлен вдоль его оси и равен .

При попытке вызвать поворот оси наблюдается гироскопический эффект:

Под действием сил, которые должны были вызвать поворот оси гироскопа OO вокруг прямой O₁O₁, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой O₂O₂ (прямая O₂O₂ и силы F перпендикулярны плоскости рисунка). Такое поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения. Моменты сил F направлен вдоль прямой O₁O₁. За время dt момент импульса гироскопа  получит приращение , которое имеет такое же направление и . Результирующий момент силы совпадает с новым направлением оси гироскопа и равен . Таким образом, ось гироскопа повернётся вокруг прямой O₂O₂ на угол , который равен , следовательно поворот оси гироскопа произошёл с угловой скоростью . Векторы , N и M взаимно перпендикулярны, тогда .

Это формула справедлива как для общего случая, так и для  перпендикулярно M .