Теорема о неразрывности струи.

Для несжимаемой жидкости объём жидкости, протекающий за единицу времени через площадь сечения трубки тока, в любом сечении одной и той же трубки тока должен быть одинаковым.

Возьмём перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока . Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время  через сечение  пройдут все частицы, расстояние которых от  в начальный момент времени не превышает значение . Следовательно, за время  через сечение  пройдёт объём жидкости, равный , а за единицу времени через сечение  пройдёт объём жидкости равный . Возьмём трубку тока, настолько тонкую, что в каждом её сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (т.е. её плотность по всюду одинакова и изменяться не может), то количество жидкости между сечениями  и  будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что что объёмы жидкости, протекающей за единицу времени через сечения  и , должен быть одинаковым.

.

Из теоремы о неразрывности струи следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки.

Теорема о неразрывности струи применима к реальным жидкостям и газам в том случае, когда их сжимаемостью можно пренебречь. При движении жидкостей и газов со скоростями, меньше скоростью звука, их достаточной точностью можно считать несжимаемой.

Уравнение Бернулли.

В стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:

Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной. Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения. Рассмотрим объём жидкости, ограниченный стенками трубки тока и сечениями  и . За время  этот объём переместиться вдоль трубки тока, причём сечение  переместиться в положение , пройдя путь , сечение  переместиться в положение , пройдя путь . В силу неразрывности струи измените объёма равно:

Энергия каждой частицы жидкости складывается из её кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения. Вследствие стационарности течения, частица, находящаяся спустя время  в любой из точек пространства рассматриваемого объёма, имеет такую же скорость (а, следовательно, и кинетическую энергию), которую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии  всего рассматриваемого объёма можно вычислить как разность энергий объёмов .

Возьмём сечение трубки тока и отрезки  настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из выделенных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости , давление  и высоты . Тогда приращение энергии будет выглядеть следующим образом:

,

где  – плотность жидкости.

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над выделенным объёмом силами давления. Силы давления на боковые поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым они приложены, вследствие чего работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил, приложенных к сечению  и . Эта работа равна:

,

Приравняв выражения , сократив на  и перенеся члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим (это и есть уравнение Бернулли):

.

Сечения  и  были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока выражение  имеет одинаковое значение. Выше приведённое выражение становятся точными, при условии, что начальная и конечная точка пространства принадлежат одной и той же линии тока.