Теоретические сведения

К пассивным элементам электрической цепи относятся резистивные элементы, катушки индуктивности и конденсаторы. Любой элемент имеет активное сопротивление r , индуктивность L и емкость C. Однако при анализе и расчетах электрических цепей учитывают лишь тот параметр, который оказывает заметное влияние на режим работы элемента или цепи в целом. В расчетных электрических схемах резистивный элемент представляют активным сопротивлением, катушку индуктивности последовательным соединением активного сопротивления и индуктивности , конденсатор – емкостью.

 

 а б в

 

Рисунок 5.1 – Схемы замещения резистивного элемента, катушки индуктивности и конденсатора

 

Резистивный элемент характеризует наличие в замещаемом элементе необратимых процессов преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Индуктивный элемент схемы замещения реальной цепи с изменяющимся током характеризует наличие изменяющегося магнитного поля, созданного этим током.

Емкостной элемент вводится в схему замещения реальной цепи с изменяющимся током, когда хотят учесть влияние изменяющегося электрического поля элементов цепи.

В простейшей цепи с резистивным элементом (рисунок 5.2,а) синусоидальное напряжение

 

U = U_m sinω t (5.1)

 

вызывает синусоидальный ток

 

i =  = sinω t = I_m sinω t , (5.2)

 

где U_m, I_m – амплитудные значения и тока, В, А;

 r – активное сопротивление элемента, Ом.

В случае резистивного элемента согласно (5.2) синусоида тока имеет ту же частоту, что и синусоида напряжения и совпадает с ней по фазе (рисунок 5.2, б) j=0. j - угол сдвига фаз между напряжением и током.

На практике для оценки величины тока и напряжения в цепях переменного тока используют действующие значения тока и напряжения, связанные с амплитудными значениями U_m и I_m следующими соотношениями

 

I =  , A; U =  , B. (5.3)

 

По закону Ома ток в цепи с резистивным элементом определяется

 

I =  (5.4)

 

Применение комплексных чисел позволяет представить не только соотношение между действующими значениями тока и напряжения, но и учесть угол сдвига фаз между ними. Закон Ома в комплексной форме для цепи с резистором имеет вид

 

I= , (5.5)

где I, U – комплекс действующего значения тока и напряжения.

Наиболее удобной формой представления угла сдвига фаз между синусоидальными величинами является векторная диаграмма, которую строят на комплексной плоскости для действующих значений тока и напряжения (рисунок 5.2,в).

 

аб

 

 

Рисунок 5.2 – Схема, временная диаграмма тока и напряжения, векторная диаграмма цепи с резистором

 

Мощность, выделяющаяся в резисторе, оценивается ее средним за период T значением и называется активной мощностью

P =  = I U = I² r , Вт (5.6)

 

В цепи с идеальной катушкой индуктивности, то есть не имеющей активного сопротивления (рисунок 5.3, а), напряжение численно равно э.д.с. самоиндукции с обратным знаком и при синусоидальном токе i = I_m sin ω t синусоидально

 

U = - e = L  = ω l I_m cosω t = x_L I_m sin(ω t + ) = U_m sin(ω t + ), (5.7)

 

где L – индуктивность катушки, Гн;

x_L= ωL =2πfL – индуктивное сопротивление, Ом;

U_m = x_L I_m – амплитудное значение напряжения, В.

Как видно из выражения (5.7) синусоида тока отстает от синусоиды напряжения на угол j = 90° 9см. рисунок 5.3, б)

Закон Ома для действующих значений напряжения и тока в катушке имеет вид

I =  , (5.8)

 

Рисунок 5.3 – Цепь с идеальной катушкой индуктивности

в комплексной форме

= . (5.9)

 

где j =  – мнимый коэффициент, умножение на который соответствует повороту вектора на 90º против часовой стрелки.

Реальная катушка (рисунок 5.4, а) имеет некоторое активное сопротивление, это приводит к уменьшению угла сдвига фаз между напряжением на ее зажимах и током, то есть j < 90°. В реальной катушке происходит преобразование электрической энергии в тепловую.

Векторная диаграмма показана на рисунке 5.4, в. Приложенное напряжение U может быть выражено в виде суммы двух составляющих: падений напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях.

 

а

 

 

бв

 

Рисунок 5.4 – Схема замещения, векторная диаграмма и треугольник сопротивлений реальной катушки индуктивности

 

Путем геометрического сложения векторов падений напряжений с учетом угла сдвига фаз получают прямоугольный треугольник (рисунок 5.4, б), называемый треугольником напряжений, для которого

U = I = z_K I , (5.10)

 

где U_a = U_r = I r – активная составляющая напряжения, В;

U_p = U_L = I x₂ – реактивная составляющая напряжения, В;

z_K =  – полное сопротивление катушки, Ом.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения

 

 (5.11)

 

Из треугольника сопротивлений (рисунок 5.4, в) можно определить угол сдвига фаз между током и напряжением

 

 (5.12)

 

Активная мощность, потребляемая реальной катушкой индуктивности, расходуется на ее нагрев и может быть определена по выражению

 

, (5.13)

 

где  - коэффициент мощности цепи.(5.14)

В цепи с конденсатором (рисунок 5.5, а) при синусоидальном напряжении ток тоже синусоидальный, мгновенное его значение

 

, (5.15)

 

где q – заряд конденсатора, Кл;

С – емкость конденсатора, Ф;

 - емкостное сопротивление конденсатора, Ом.

Из выражения (5.15) следует, что ток опережает напряжение на четверть периода, то есть j = - 90° (рисунок 5.5, б). Векторная диаграмма показана на рисунке 5.5, в.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения

 

I = , (5.16)

в комплексной форме

= . (5.17)

 

При последовательном соединении резистора и конденсатора (рисунок 5.6, б)

 

, (5.18)

 

где U_a – напряжение на активном сопротивлении, В;

 U_C – напряжение на емкости, В;

– полное сопротивление цепи, Ом.

 

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения

 

, (5.19)

 

в комплексной форме

I = , (5.20)

 

где – комплекс полного сопротивления.

 

аб

 

 

в

 

Рисунок 5.5 – Цепь с конденсатором

 

Угол сдвига фаз

 (5.21)

 

При последовательном соединении реальной катушки и конденсатора (рисунок 5.7, а) напряжение на зажимах цепи определяется из треугольника напряжений (рисунок 5.7, б)

 

, (5.22)

 

где  – суммарное реактивное напряжение, В;

 – суммарное реактивное сопротивление, Ом;

– полное сопротивление цепи, Ом.

 

 аб в

Рисунок 5.6 – Последовательное соединение резистора и конденсатора

 

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения

 

 , (5.23)

 

в комплексной форме

 I = , (5.24)

 

где  – комплекс полного сопротивления.

Угол сдвига фаз определяется из треугольника сопротивления (рисунок 5.7, в)

 (5.25)

 

Активная мощность, потребляемая цепью

 

(5.26)

 

Сдвиг между током и напряжением зависит от соотношения реактивных сопротивлений, так если x_L > x_C , нагрузка носит активно-индуктивный характер (0 < j < 90°). В случае равенства индуктивного и емкостного сопротивлений цепи x_L = x_C угол j = 0, напряжение и ток совпадают по фазе. Такой режим называется резонансным

 

(5.27)

 

Из выражения (5.27) следует, что резонанс напряжений можно получить, изменяя частоту напряжения сети , индуктивность L или емкость С.

 

 

Рисунок 5.7 – Последовательное соединение реальной катушки и конденсатора

 

При резонансе входное сопротивление цепи чисто активное и минимальное по величине  .

Ток имеет максимальную величину, так как ограничен минимальным сопротивлением

 

(5.28)

 

Напряжение на индуктивности U_L и на емкости U_C равны по величине и могут значительно превышать входное напряжение. Резонанс в рассматриваемой цепи называется резонансом напряжений.