ЗАДАЧИ (криволинейное движение)

1. Тело веса , брошенное с начальной скоростью  под углом  к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и силы сопротивления  воздуха. Определить наибольшую высоту  тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: . Найти закон движения точки. На каком расстоянии  по горизонтали точка достигнет наивысшего положения.

2. Точка массы  движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по закону , где  радиус-вектор точки.
В начальный момент точка находилась в  и имела скорость , направленную параллельно оси . Определить траекторию точки.

3. Точка  массы  движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса . В начальный момент угол , а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки  и реакцию поверхности цилиндра при угле .

Тема 7. Теорема об изменении момента импульса материальной точки.

Вопросы: Понятия центра масс системы материальных точек, момента импульса материальной точки, момента импульса силы, внешние и внутренние силы, замкнутая механическая система, закон сохранения момента импульса системы.

Алгоритм решения:

1. изобразить на рисунке систему в текущем положении и приложенные к ней внешние силы;

2. выбрать систему координат (при движении точки по дуге окружности следует одну из осей направить через центр окружности перпендикулярно ее плоскости);

3. вычислить суммы моментов сил, приложенных к материальной точке, относительно осей координат;

4. изобразить вектор импульса точки, записать выражение его моментов относительно неподвижных осей координат и взять от них производные по времени;

5. записать теорему о движении центра масс в проекциях на декартовы оси координат;

6. в зависимости от условия решить прямую или обратную задачу динамики.

ЗАДАЧИ

1. Два математических маятника, подвешенных на нитях длин  и   , совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины  и  для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени Т.

2. Определить массу М Солнца, имея следующие данные: радиус Земли  м, средняя плотность 5,5 т/м³, большая полуось земной орбиты а = 1,49 10¹¹ м, время обращения Земли вокруг Солнца Т = 365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1кг, на расстоянии 1м считаем равной Н, где m — масса Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна , где г — расстояние Земли от Солнца.

3. Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, скорость  = 0,5 м/с и составляет угол 45° с направлением прямой, проведенной из центра к точке.

4. Частица М массы 1 кг притягивается
к неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии ОМ₀ =2м и имеет скорость, перпендикулярную к ОМ₀ и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы.