Тема 2. Кинематика материальной точки.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

руководство для самостоятельной работы

 

Пенза, 2010

Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского

 

 

УДК 53(075)

 

Марко А. А. Теоретическая механика. Руководство для самостоятельной работы. / А. А. Марко, О. В. Фолимагина, Н. В. Кирпичева. – Пенза: ПГПУ, 2010. – 40 с.

 

 

Учебно-методическое пособие предназначено студентам физико-математического факультета. Пособие содержит подборку базовых задач курса классической механики, варианты самостоятельных работ. В пособие приведены алгоритмы решения задач, краткий анализ содержания задач для самостоятельного решения, а также требования к оформлению и защите самостоятельных работ.

 

Ó Пензенский государственный

педагогический университет

имени В. Г. Белинского, 2010

Ó А. А. Марко, 2010

Ó О. В. Фолимагина, 2010

Ó Н. В. Кирпичева, 2010

Введение

 

Уважаемый студент, немногочисленные законы и теоремы, лежащие в основе теоретической механики, находят весьма разнообразные и обширные применения. Поэтому наибольшие затруднения у изучающих теоретическую механику вызывает приложение общих положений теории к решению конкретных задач.

Залогом успешного освоения курса теоретической механики станет Ваша систематическая работа по изучению основных понятий, законов и принципов теории, а также решение задач.

Первая часть пособия содержит 8 структурированных тем, содержащих перечень основных теоретических позиций темы, рекомендуемые алгоритмы решения задач данной тематики и подборку задач, наиболее ярко иллюстрирующих методы и приемы решения задач темы.

Во второй части приведено описание самостоятельных работ, решение которых позволит Вам сформировать навыки использования законов механики в конкретных задачах.

 

 

Тема 1. Траектория и законы движения материальной точки.

Вопросы: материальная точка, траектория, закон движения, пройденный путь, перемещение, система отсчета.

Алгоритм решения:

1. выбирается система неподвижных координат – прямоугольная, полярная или какая-нибудь иная; начало координат и та или иная система выбираются, исходя из условия задачи, так, чтобы дальнейшее решение было возможно более простым;

2. на основании условий задачи для избранной системы координат составляются законы движения;

3. имея законы движения точки, можно определить ее положение в любой момент времени, установить направление движения, найти траекторию, исключив из законов движения время.

 

ЗАДАЧИ

1. По данным законам движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке положение точки в моменты времени

a)

b)

c)

d)

2. Движение точки задано уравнениями:  причем ось  горизонтальна, ось  направлена по вертикали вверх,  и  величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки,
2) координаты наивысшего ее положения.

3. Точка движется по винтовой линии:  Определить уравнение движения точки в цилиндрических координатах.

4. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям: . Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.

5. По заданным законам движения точки в декартовых координатах: ; ;  найти ее траекторию и законы движения в сферических координатах.

 

 

Тема 2. Кинематика материальной точки.

Вопросы: скорость материальной точки, ускорение материальной точки, проекции скорости и ускорения, тангенциальное и нормальное ускорения, кривизна траектории.

Алгоритм решения:

1. выбирается система неподвижных координат – прямоугольная, полярная или какая-нибудь иная; начало координат и та или иная система выбираются, исходя из условия задачи, так, чтобы дальнейшее решение было возможно более простым;

2. на основании условий задачи для избранной системы координат составляются законы движения;

3. имея законы движения точки, определить проекции скорости или ускорения, путем дифференцирования законов движения по времени;

4. определить модули скорости и ускорения, радиус кривизны траектории и т.д.

 

ЗАДАЧИ

1. По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения

а)

b) ; c)

2. Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению ; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению  (  и  – в метрах,
 – в секундах). Цепь укорачивается со скоростью . Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости ; ось  направлена вертикально вверх (сделать чертеж).

3. Точка движется по винтовой линии:  Определить уравнение движения точки в цилиндрических координатах.

4. Движение точки задано уравнениями:  причем ось  горизонтальна, ось  направлена по вертикали вверх,  и  ­ величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки,
2) координаты наивысшего ее положения, 3) проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на
оси .

5. Из орудия, ось которого образует угол  с горизонтом, выпущен снаряд со скоростью . Предполагая, что снаряд имеет только ускорение силы тяжести , найти годограф скорости снаряда.

6. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям: . Определить проекции скорости точки на оси декартовых и полярных координат и найти модуль скорости точки.

7. Поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиуса  и проходит путь , имея начальную скорость  и конечную . Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а также время движения по этой дуге.

8. Найти величину ускорения, а также радиус кривизны траектории точки  колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной оси , если точка описывает циклоиду согласно уравнениям:  (  и  – в метрах,  – в секундах). Определить значение радиуса кривизны  при .

 

9. Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями .

10. Точка  движется по линии пересечения сферы  и цилиндра . Уравнения движения точки в сферических координатах имеют вид: . Найти проекции и модуль скорости ускорения точки в сферических координатах.