Синтез релейной системы

Структурная схема релейной системы управления с обратной связью имеет вид:

Система состоит из линейной части с передаточной функцией W(p)=R(p)/Q(p), релейного элемента(трехпозиционное реле) и пропорционально-дифференциального регулятора. Как будет показано ниже, структура и параметры регулятора существенным образом влияют свойства релейной системы, в том числе и на устойчивость, что необходимо при построении нелинейных систем с переменной структурой.

Чтобы получить трехпозиционное реле без гистерезиса, собираем схему из суммы двух релейных звеньев(двухпозиционное реле с гистерезисом) и настраиваем релейные элементы (Relay) следующим образом:

Relay:

Switch on point: 0.8;

Switch off point: 0.8;

Output when on: 0.8;

Output when off: 0.

Relay1:

Switch on point: -0.8;

Switch off point: -0.8;

Output when on: 0;

Output when off: -0.8.

Определим с помощью моделирования параметры пропорционально-дифференциального регулятора, которые обеспечат существование автоколебательного режима. Например, при  и  в релейной системе получим автоколебания.

Автоколебания в релейной системе управления:

Эти автоколебания имеют следующие характеристики:

f=1/T => w=2πf

частота колебаний w ≈ 0,1185 рад/с;

амплитуда колебаний А ≈ 15 ед.

Определим амплитуду и частоту автоколебаний методом гармонической линеаризации и гармонического баланса.

Как следует из этого метода, для определения существования автоколебательного режима необходимо любым методом найти решения уравнения

,

где  – передаточная функция или коэффициент гармонической линеаризации нелинейного элемента, – амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы.

Для нахождения решений данного уравнения чаще всего применяют аналитические или графоаналитические методы. Воспользуемся графоаналитическим методом нахождения решений уравнения гармонического баланса. Для этого построим два графика на комплексной плоскости:

 и  

и найдем точку их пересечения, координаты которой дадут амплитуду и частоту автоколебаний.

Коэффициент гармонической линеаризации для трехпозиционного реле имеет вид:

,

где Δ – параметр, определяющий зону нечувствительности реле; А – амплитуда возможных колебаний.

Программа построения графиков для нахождения решения уравнения в среде Matlab имеет вид:

w=[0:0.0001:1];

k1=0.9;

k2=5;

c=25*k1^2.+25*k2^2.*w.^2;

re=(100*k1.*w.^2-k2.*(w.^2-625*w.^4))./c;

im=(-100*k2.*w.^3-k1.*(w.^1-625*w.^3))./c;

plot(re, im);

hold on;

D=0.8;

A=[0:0.01:100];

re=4./(pi.*A).*(sqrt(1-(D./A).^2));

im=0;

plot(re, im);

Выполнив эту последовательность команд, получим два графика на комплексной плоскости:

1 – график ; 2 – график

Таким образом, получаем, что два графика на комплексной плоскости  и  имеют пересечения при в точках с координатами (0;0) и (0.07;0).

Частоту автоколебаний определим, приравняв мнимую часть выражения для  к нулю:

Амплитуду автоколебаний определим следующим образом:

В результате синтеза для рассматриваемого случая уравнение линии переключения получится в виде: S₂ = 0.9x₁ + 5x₂ + d.