Синтез управляющего устройства СПС третьего порядка без учета нелинейности

Выполним синтез СПС для управляемого объекта третьего порядка с математической моделью

 если | u | < 0,8

, если | u | > 0,8.

Было установлено, что система должна иметь замкнутую структуру, при этом в силу специфики объекта для обеспечения качественного управления эта структура должна быть переменной. На первом этапе аналитического конструирования не будем учитывать характер входных воздействий и ограничения вида насыщения, а синтезируем систему, обеспечивающую качественные показатели в свободном движении, вызванном некоторым начальным отклонением. Основными требованиями к системе будем считать точность, характер переходного процесса, быстродействие. Конкретные значения этих показателей уточним в процессе синтеза системы.

Запишем модель управляемого объекта с учетом принятых соглашений для её дальнейшего использования в процессе синтеза. Так как при свободном движении =0, уравнения движения запишутся следующим образом:

- в виде дифференциального уравнения:

;

.

- в пространстве состояний:

где = 0.16; = 0.0016; = 0; b = 0.04.

Рассмотрим возможность положительного решения задачи синтеза при простейшей структуре СПС со скользящим движением, а именно, синтезируем СПС с управлением вида:

; ,

где  - постоянные коэффициенты причем .

 - уравнение, задающее некоторую гиперплоскость, которая является при принятых выше соотношениях границей разрыва управляющего воздействия u.

Так как фактически структура системы определена, в результате синтеза необходимо определить параметры СПС, а именно, значения , , и , обеспечивающие требуемые показатели качества разрабатываемой системы.

Условия существования скользящего режима для системы произвольного порядка имеют вид:

Так как наша система третьего порядка, то , а  принимает значения . Тогда с учетом параметров объекта ( = 0.16; = 0.0016; = 0; b = 0.04) условия существования скользящего режима запишутся следующим образом:

При определении условий существования скользящего режима необходимо учитывать то обстоятельство, что движение в скользящем режиме может оказаться неустойчивым. Для обеспечения устойчивого движения в скользящем режиме при управляющем воздействии вида  в системах с переменной структурой рассматриваемого типа характеристическое уравнение исходной системы  при  должно иметь не более одного корня с положительной вещественной частью:

Из решения этого уравнения получаем, что оно будет иметь не более одного корня с положительной вещественной частью при  и .

Рассмотрим теперь условия попадания изображающей точки на плоскость скольжения для системы третьего порядка.

Уравнения движения для данного случая можно представить в виде

, , - const, b>0,

; ,

где  - постоянные коэффициенты причем

Причем -постоянные коэффициенты, , а прямая S = 0 является линией скольжения. Если выполнены условия существования скользящего режима для коэффициентов , то для попадания изображающей точки на плоскость скольжения S=0 необходимо и достаточно, чтобы в характеристическом уравнении системы отсутствовали неотрицательные действительные корни.

Из решения этого уравнения получаем, что оно будет иметь отрицательные действительные корни при .

Из неравенства  можно сделать вывод, что при  и . При выборе значения  будем руководствоваться тем, что его значение влияет на точность и быстродействие системы – чем больше , тем точнее система и тем быстрее заканчивается переходный процесс. К тому же все параметры, которые мы рассчитаем по условиям существования скользящего режима, будут уточняться по условиям устойчивости СПС.

Пусть  и , тогда  определим следующим образом:

Подставим  в третье уравнение и получим квадратное уравнение, решая которое определим .

По условиям существования скользящего режима , следовательно .

Но при подстановке такого значения с_2, система имеет апериодический характер переходного процесса, а по заданию он должен быть монотонным. С помощью моделирования определяем, что монотонного характера переходного процесса можно добиться увеличив значение с₂ до 0,8. Поэтому принимаем .

Из неравенства  следует, что . Примем .

Схема моделирования:

С учетом рассчитанных параметров фазовые траектории СПС со скользящим режимом движения имеют вид:

1 – α = 50; 2 – α = 100; 3 – α = 200

Переходные характеристики в СПС третьего порядка:

1 – α = 200; 2 – α = 100; 3 – α = 50

Переходные характеристики получены при начальных отклонениях (0 1). Полученные характеристики позволяют сравнить качественные показатели СПС и обычной линейной системы. Как следует из переходных характеристик СПС, переходный процесс имеет монотонный характер, при этом время переходного процесса значительно меньше, чем в линейной системе. Изменяя параметры СПС, можно влиять на качественные показатели системы.