Система с переменной структурой с устойчивым вырожденным движением

Предположим, что в нашем распоряжении имеется две, пусть даже неустойчивые линейные структуры, но в фазовом пространстве одной из них существует гиперплоскость с устойчивым вырожденным движением. Тогда следует выбрать такую последовательность изменения этих структур, чтобы, во-первых, любая траектория в фазовом пространстве Х пересекала эту гиперповерхность, и, во-вторых, в момент попадания изображающей точки на эту гиперплоскость структура системы совпадала со структурой с устойчивым вырожденным движением. Построенная таким образом система будет устойчивой для любых начальных условий.

Проиллюстрируем этот принцип на примере системы второго порядка. В качестве структуры с устойчивым вырожденным движением примем неустойчивую структуру с фазовыми траекториями типа ‘седло’. В качестве второй неустойчивой структуры примем структуру с фазовыми траекториями типа ‘неустойчивый фокус’, то есть, раскручивающиеся спирали.

Для получения такой фазовой траектории необходимо, чтобы корни характеристического уравнения были комплексными сопряженными с положительными вещественными частями. Такую структуру можно получить за счёт соответствующего подбора коэффициентов в регуляторе. Уравнение замкнутой системы было получено ранее:

Рассчитаем  и  в уравнении вида:

таким образом, чтобы корни характеристического уравнения, были бы комплексно-сопряженными и имели положительные вещественные части.

Для того, чтобы корни были комплексно-сопряженными необходимо, чтобы выполнялись условия:

1.

2.

Из первого неравенства получаем:

Из второго неравенства получаем:

Знак минус перед  говорит о том, что обратная связь по производной от отклонения должна быть положительной, что в свою очередь объясняется тем, что сам объект является асимптотически устойчивым.

Возьмем .

Тогда:

Возьмем 0.

Тогда корни характеристического уравнения будут равны:

Структурная схема системы с фазовой траекторией типа “ неустойчивый фокус ”

Фазовые траектории вида неустойчивый фокус.

Далее возникает задача: выбрать такую последовательность изменения структур, чтобы движение было устойчивым. Решим эту задачу методом фазовой плоскости. Разобьем фазовую плоскость на две области 1 и 2, границами которых является прямая S и ось . Если состояние системы таково, что изображающая точка находится в области 1, то её движение должно происходить по раскручивающимся спиралям (система должна иметь вторую структуру). В области 2 изображающая точка должна двигаться по кривым гиперболического типа (система должна иметь первую структуру).

Структурная схема системы с переменной структурой с вырожденным устойчивым движением с учетом рассчитанных коэффициентов:

Фазовая траектория системы с вырожденным устойчивым движением:

Переходная характеристика системы с вырожденным устойчивым движением:

Этот подход позволяет построить устойчивую систему и отказаться от требований устойчивости для каждой из имеющихся структур. Однако в рассматриваемом случае движение по линии переключения отсутствует, так как инерционные силы смещают изображающую точку с этой линии, её дальнейшее движение происходит по другой фазовой траектории, но в целом движение остаётся асимптотически устойчивым - фазовая траектория стягивается к началу координат.