Типовые динамические звенья

Любая система АР состоит из ряды звеньев, каждое из которых обладает определенными динамическими свойствами. В зависимости от характера протекания ПП различают 10 ТДЗ.

Элемент, описываемый дифференциальными уравнениями не выше второго порядка – типовое динамическое звено.

 - общий вид такого уравнения.

Усилительное (безинерционное) звено.

, где

Для задания и полного описания усилительного звена достаточно определить его коэффициент усиления. Реально усилители имеют некоторую инерционность, но часто ей пренебрегают за малостью, по сравнению с инерционностью других элементов системы. Примерами усилительных звеньев могут служить механические пружины, рычажные передачи.

АФЧХ: Во всём диапазоне частот, только реальная часть.

АЧХ: Для любой частоты коэффициент усиления остаётся постоянным.

ФЧХ: Прямая, совпадающая с осью частот во всём диапазоне w.

 

 

Интегрирующее звено.

Является необходимой частью астатических систем. Описывается следующим дифференциальным уравнением:

При постоянном входном сигнале, выходной сигнал неограниченно нарастает с постоянной скоростью, определяемой постоянной интегрирования Ти, чем больше эта величина, тем больше скорость интегрирования.

АФЧХ:

АЧХ:

ФЧХ:

ЛАЧХ: ,

ω2=10ω1, ΔL=L(ω2)-L(ω1)=-20lgT10ω1+20lgTω1=-20lg(10Tω1)/(Tω1)=

=-20lg10=-20 дб/дек.

В точке .

 

 

В качестве примера можно привести гидравлический сервомеханизм.

 

Инерционное звено первого порядка (апериодическое).

Это звено описывается уравнением:

Для задания и описания этого звена определить два параметра: Т – постоянную времени и к – коэффициент передачи.

АФЧХ: Ф(jw)=

АЧХ: А(w)=

ФЧХ:

ЛАЧХ: . Максимальная ошибка асимптотической и реальной ЛАЧХ в точке 1/Т не превышает 3 дб.

На низкочастотном участке, где w<<1/Т =>  (пренебрегаем .

На высокочастотном участке, где w>>1/Т => (пренебрегаем"1"), то есть имеем прямую с наклоном –20дб/дек. В точке w=1/Т, имеем максимальное расхождение: .

Примером такого звена может служить уже рассмотренные ранее бак и дизель без наддува.

 

Дифференцирующие звенья.

Выделяют четыре вида дифференцирующих звеньев:

1. Собственно дифференцирующее звено или идеальное дифференцирующее звено;

2. Дифференцирующее звено первого порядка (форсирующее);

3. Гибкое (изодромное) звено без статизма или реальное звено;

4. Гибкое (изодромное) звено со статизмом или интегродифференцирующее звено.

 

Идеальное дифференцирующее звено.

Описывается следующим дифференциальным уравнением:

, .

Величина  - постоянная времени дифференцирования.

АФЧХ:

АЧХ:

ФЧХ:

ЛАЧХ: , в точке

 

 

Дифференцирующее звено первого порядка (форсирующее).

Описывается следующим дифференциальным уравнением:

, .

Величина  - постоянная времени дифференцирования,  - коэффициент дифференцирования.

АФЧХ:

АЧХ:

ФЧХ:

ЛАЧХ: , в точке  характеристика изменяет наклон (см. рисунок).

 

Реальное звено.

Описывается следующим дифференциальным уравнением:

, .

Величина  - постоянная времени дифференцирования,  - постоянная времени интегрирования.

АФЧХ:

АЧХ:

ФЧХ:

ЛАЧХ: в точке  - характеристика изменяет наклон (см. рисунок).

 

 

Интегродифференцирующее звено.

Описывается следующим дифференциальным уравнением:

, .

Величина  - постоянная времени дифференцирования,  - постоянная времени интегрирования, .

АФЧХ: Уравнение выводится и выглядит аналогично предыдущему звену, опускается ввиду большой величины.

АЧХ:

ФЧХ:

ЛАЧХ: в точке  и  - характеристика изменяет наклон (см. рисунок).

Построение большинства характеристик различается в зависимости от соотношения постоянных времени.

 

 

К реальному дифференцирующему звену, в качестве примера можно привести гидравлический катаракт.

Типовые динамические звенья второго порядка.

Инерционное звено второго порядка.

Описывается дифференциальным уравнением вида:

 =>  =>

Инерционное звено второго порядка имеет следующую передаточную функцию: . Для облегчения промежуточных расчётов и представления передаточной функции в виде известном из курса высшей математики, примем: . Имеем: , знаменатель этой функции – это квадратичное уравнение и в общем случае оно имеет решение:

.

Эти корни могут быть вещественными, мнимыми и сопряжёнными комплексами. В зависимости от вида корней различаются и свойства элемента.

Запишем ещё раз передаточную функцию звена:

, где  - период колебаний звена,  - коэффициент демпфирования.

Введённое понятие коэффициента демпфирования позволит различать свойства элемента и, исходя из этого, имеем:

Инерционное звено второго порядка (l³1, корни вещественные);

Колебательное затухающее инерционное звено второго порядка (0<l<1, корни комплексные сопряжённые);

Консервативное звено (l=0, корни мнимые).

 

1. В случае, когда l³1 или Т1/Т2³2 корни характеристического уравнения действительные и отрицательные: р1=-a1, р2=-a2

, таким образом, переходный процесс будет определяться двумя экспонентами и будет апериодическим при любых входных воздействиях. В принципе, это звено может быть представлено в виде последовательного соединения двух звеньев первого порядка с постоянными времени Т1 и Т2 и соответствующими коэффициентами передачи. Поэтому нет необходимости вводить новое типовое звено. При l³1 демпфирование сильное.

2. В случае, когда 0<l<1 или 0< Т1/Т2<1 корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые: р1,2=-a±jw, где a=Т1/Т22 , .

Переходный процесс в этом случае представляет собой затухающую синусоиду, амплитуда которой убывает каждые полпериода по экспоненциальному закону . Звено нельзя представить в виде соединения других звеньев и значит, является типовым.

3. В случае, когда l=0 или Т1 =0 корни характеристического уравнения мнимые: р1,2=±jw, где w=1/Т2 . Переходный процесс определяется выражением:

. Звено называется консервативным и также является типовым.

Дифференцирующее звено второго порядка.

Это звено описывается уравнением:

Звено этого типа встречается редко.

 

Астатическое звено второго порядка.

Это звено описывается уравнением:

 

Таким образом, передаточная функция звена следующая:

Это звено суть последовательное соединение интегрирующего и инерционного звена первого порядка.

 

Звено с запаздыванием.

Это звено описывается уравнением: , то есть происходит повторение входного сигнала, но через некоторое время t. Передаточная функция этого звена следующая:

Примерами такого звена могут являться трубопровод и транспортёр.

Продукт из загрузочного бункера поступает на транспортёр, который ссыпает его в бункер. Количество поступающего продукта на транспортёр регулируется шибером. Пусть l – длина транспортёра, а v – скорость его перемещения, при этом время запаздывания будет равно: .