Передаточные функции и характеристики судовых объектов регулирования

Основой вывода дифференциальных уравнений является закон сохранения энергии, энерго - и масса - баланс. Этот закон формулируется следующим образом:

Количество энергии (вещества), подведённое к элементу за время Dt, потоком мощности Nп, равно количеству энергии отведённого от элемента за то же время Dt, потоком мощности Nр плюс некоторое количество энергии DА, накопленное в данном элементе за рассматриваемое время Dt:

NпDt= Nр Dt+DА,                                                            (2)

при Dt®dt имеем:

,                                              (3)

где DN – результирующий поток энергии.

Запас внутренней энергии А характеризуется некоторой физической величиной, поэтому для конкретных элементов можно указать конкретные физические параметры. Например, вращающийся двигательный элемент.

приведённый к валу момент инерции;

    L- индуктивность;

   S- площадь.

Представив через физические величины правую часть уравнения и линеаризировав в рабочей точке связи между этими величинами (они в общем случае нелинейным) и потоками энергии формулируют линейные дифференциальные уравнения движения ОУ или его линейную модель.

Рассмотрим пример вывода линейной модели, для чего возьмём ДВС без наддува или с независимым наддувом. ДВС является объектом регулирования частоты вращения вала.

Совмещённые статические характеристики движущего момента дизеля (Мд) и момента сопротивления (Мс) – винтовая характеристика. Движущий момент дизеля – функция двух переменных: w и х – положения рейки топливного насоса:

,

а Mc зависит только от частоты вращения

.

Скорость изменения w определяется разностью этих моментов и моментом инерции всех вращающихся масс, приведённых к валу дизеля.

                      (28)

Пусть точка А(w0,х0,Мд0,Мс0) определяет установившийся режим работы, когда положению топливной рейки х0 соответствует w0 и Мд0-Мс0=0. Дадим приращения независимым переменным, вызывающим определённые приращения зависимых:

                                            (29)

Тогда линеаризировав статические характеристики в точке "А", имеем:

                                              (30)

Подставим 29 и 30, в 28, получим:

                            (31)

Это, собственно, и есть линеаризированное дифференциальное уравнение. Его постоянные коэффициенты – это величины, имеющие определённую размерность. Чтобы перейти к относительным единицам, то есть нормализовать уравнение, надо первую его часть умножить и разделить на w0, а правую на х0:

(32)

Теперь разделим (32) на коэффициент при  и введём новые переменные:

 и . Из этого получим:

             (33)

где                  - постоянная времени дизеля;

      - коэффициент передачи дизеля, безразмерная величина.

Полученное уравнение 33 – это линеаризированное и нормализованное дифференциальное уравнение дизеля, записанное в отклонениях и относительных единицах. Знак * обычно опускают.

Дифференциальное уравнение вида (33) описывают очень широкий класс объектов называемых одноёмкостными или объектами первого порядка. В качестве примеров таких объектов можно привести резервуар со свободным сливом жидкости, ёмкость, в которую под давлением поступает газ. Существуют объекты более высоких порядков, описываемые несколькими дифференциальными уравнениями. Например, дизель с газотурбинным наддувом описывается системой из двух дифференциальных уравнений или дифференциальными уравнениями второго порядка.