Оценка качества уравнения регрессии

Качество модели регрессии связывают с ее адекватностью наблюдением (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблюдаемым данным проводится на основе анализа остатков .

После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение в каждом наблюдении на две составляющие –  и :

(13)

Остаток  представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от ее значения, полученного расчетным путем:

Если , то для всех наблюдений фактические значения зависимой переменной совпадают с расчетными (теоретическими) значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по функции ) проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи. Следовательно, результативный признак  полностью обусловлен влиянием фактора .

На практике, как правило, имеет место некоторое рассеивание точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т.е. отклонения эмпирических данных от теоретических . Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества (адекватности) уравнения регрессии.

При анализе качества модели регрессии используется основное положение дисперсионного анализа, согласно которому общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от среднего значения может быть разложена на две составляющие – объясненную и необъясненную уравнением регрессии:

где,  значения , вычисленные по модели .

Разделив правую и левую часть уравнения (6) на получим

Коэффициент детерминации определяют следующим образом:

Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака  учета в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Чем ближе к единице, тем выше качество модели.

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции):

Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака, находящего под воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака  учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Коэффициент универсален, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использовать при любой форме связи переменных.

Для парной модели регрессии индекс корреляции равен коэффициенту парной корреляции:

.

Очевидно, что чем меньше влияние неучтенных факторов, тем лучше модель соответствует фактическим данным.

Для оценки качества регрессионных моделей используется также средняя относительная ошибка аппроксимации:

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации;  свидетельствует о хорошем качестве модели.

После того как уравнение регрессии построено, выполняется проверка значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров.

Во-первых, необходимо оценить значимость уравнения регрессии, т.е. установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость  и  фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных  для описания зависимой переменной .

Оценка значимости уравнения регрессии позволяет узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет. При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнении в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная гипотеза о значимости уравнения  гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение c  и степенями свободы, где  – количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.