Частный коэффициент корреляции

Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом,то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния других случайных величин (одной или нескольких).

Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле

где,  алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы  [см. формулу 5].

Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции, изменяется от 1 до +1.

Выражение при условии  будет иметь вид:

Коэффициент  называется коэффициентом корреляции между при фиксированном  Он симметричен относительно первичных индексов 1,2. Его вторичный индекс  относится к фиксированной переменной.

Пример. Вычисление коэффициентов парной, множественной и частной корреляции.

В таблице 2 представлена информация об объёмах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объёмы продаж» и «индекс потребительских расходов».

2. Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объёмы продаж (вычислить коэффициент парной корреляции).

3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.

4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.

5. Найти оценку множественного коэффициента корреляции.

6. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

Решение

1. В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис. 1. Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных  (индекс потребительских расходов) и  (объём продаж).

Таблица 2

Объем продаж , тыс. руб.	Затраты на рекламу , тыс. руб.	Индекс потребительских расходов , %	Объем продаж , тыс. руб.	Затраты на рекламу , тыс. руб.	Индекс потребительских расходов , %
126	4	100,0	367	19,8	108,3
137	4,8	98,4	367	10,6	109,2
148	3,8	101,2	321	8,6	110,1
191	8,7	103,5	307	6,5	110,7
274	8,2	104,1	331	12,6	110,3
370	9,7	107,0	345	6,5	111,8
432	14,7	107,4	364	5,8	112,3
445	18,7	108,5	384	5,7	112,9

Объем продаж, тыс. руб.

Индекс потребительских расходов, %

Рис. 1. Диаграмма рассеяния

2. Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными  (индекс потребительских расходов) и  (объём продаж) приведены в табл. 3.

Таблица 3

№
1	126	100,0	-180,813	-7,231	1307,5	52,291	32693,160
2	137	98,4	-169,813	-8,831	1499,657	77,991	28836,285
3	148	101,2	-158,813	-6,031	957,838	36,376	25221,41
4	191	103,5	-115,813	-3,731	432,125	13,922	13412,535

Окончание табл. 3

Средние значения случайных величин  и , которые являются наиболее простыми показателями, характеризующимися последовательности  рассчитаем по следующим формулам:

Дисперсия характеризует степень разброса значений  вокруг своего среднего  (  соответственно):

Стандартные ошибки случайных величин  и  рассчитаем по следующим формулам:

Коэффициент парной корреляции рассчитаем по формуле:

3. Оценим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем значение t-статистики по формуле (10):

Табличное значение критерия Стъюдента  равно 1,7613 (см. Приложение 2). Сравниваем числовые значения критериев  т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо.

Таким образом, индекс потребительских расходов оказывает весьма высокое влияние на объем продаж.

Таблица 4

Распределение Стьюдента ( -распределение)

4. Матрица  коэффициентов парной корреляции, вычисленных по формуле для трех факторов, будет иметь вид:

5. Вычислим множественный коэффициент корреляции  с  и :

где,  определитель корреляционной матрицы  – равен 0,13, а  алгебраическое дополнение первого диагонального элемента  той же матрицы :

6. Вычислим коэффициенты частной корреляции по формуле (6):

где, алгебраическое дополнение элемента  матрицы  соответственно, а алгебраическое дополнение второго диагонального элемента

Коэффициенты частной корреляции можно вычислить, используя коэффициенты парной корреляции [см. формулу 9]: