Матрицы и действия над матрицами

Матрицей  называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:[1]

.

Числа  составляющие данную матрицу, называются ее элементами:  номер строки матрицы;  номер столбца.

Если , то матрица называется квадратной порядка .

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие на главной диагонали, равны единице ( ) а остальные элементы – нулю, называются единичной:

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца,  вектором-столбцом.

Две матрицы  равны, если равны их соответствующие элементы, т.е.  тогда и только тогда, когда

Суммой двух матриц  называется матрица , элементы которой  равны сумме соответствующих элементов и  матриц  и .

 

Произведение матрицы  на число  называется матрица , элементы которой  равны

Матрица  называется противоположной матрице . Если матрицы одинаковых размеров, то их разность равна

.

Произведением матрицы  порядка  на матрицу  порядка  называется матрица порядка , элементы которой  равны

Из данного выражения следует правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении строки и столбца матрицы , необходимо все элементы строки матрицы  умножить на соответствующие элементы столбца матрицы  и полученные произведения сложить.

Произведение двух матриц не коммутативно, т.е. в общем случае . Если , то матрицы  и  называются коммутативными. Так, единичная матрица  коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем .

 

Пример 1. Найти произведение  матриц:

.

Решение:

.

Пример 2. Найти произведение  матриц:

.

Решение:

.

Транспортированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Обозначение транспортированной матрицы: , .

Любой квадратной матрице  порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом  порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле:

Пример 3. Вычислить определитель матрицы :

.

Решение:

 

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

 

Пример 4. Вычислить определитель матрицы :

.

Решение:

.

Вычисление определителей n -го порядка производится на основании свойств определителей и следующей теоремы: определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

 

Алгебраическое дополнение  элемента  равно

где,  – минор элемента , получаемый путем вычеркивания в определителе  строки и  столбца.

Минором порядка  матрицы  называется определитель , составленный из элементов, расположенных на пересечении  строк и  столбцов матрицы. Минор , расположенный в первых  строках и в первых  столбцах, называется угловым или главным минором.

 

Пример 5. Вычислить два минора второго порядка матрицы :

.

Решение. Первый минор  расположен на пересечении первой и третьей строк и второго и третьего столбцов:

 

второй минор  является главным минором второго порядка. Он расположен на пересечении первых двух строк и первых двух столбцов:

Квадратная матрица  порядка n называется обратной к матрице , если она удовлетворяет соотношению:

.

Квадратная матрица  порядка n называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица  называется вырожденной (особенной).

Для всякой невырожденной матрицы  существует единственная обратная матрица, равная

где,  присоединенная матрица,  элемент которой есть алгебраическое дополнение  элемента  матрицы :

Первый способ нахождения обратной матрицы рассмотрим на конкретном примере:

 

Пример 6. Вычислить обратную матрицу для матрицы :

Решение. Определитель матрицы  

Определитель матрицы  отличен от нуля, следовательно, для матрицы  существует единственная обратная матрица. Вычислим присоединенную матрицу :

т.е.

Тогда

Проверкой убеждаемся, что .

 

Второй способ нахождения обратной матрицы. Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований (преобразований Жордана-Гаусса) над строками матрицы:

· перемена местами двух строк;

· умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;

· прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, отличное от нуля.

Для того чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы , необходимо составить матрицу , затем путем элементарных преобразований привести матрицу  к виду единичной матрицы , тогда на месте единичной матрицы получим матрицу .

 

Пример 7. Вычислить обратную матрицу для матрицы :

.

Решение. Составим матрицу  вида

.

Элемент  и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате данных преобразований получим матрицу:

.

В матрице  преобразуем в единичный второй столбец. В качестве направляющего элемента выберем элемент . Так как направляющий элемент , разделим вторую (направляющую) строку на . Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на . Получим матрицу

.

В матрице  преобразуем в единичный третий столбец. В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Делим направляющую (третью) строку на 4 и ко второй строке прибавляем третью, умноженную на . Получим матрицу:

,

откуда

.