Определение смешенного произведения и его свойства.

Определение 1. Смешенным произведением трех векторов a, b, c называется скалярное произведение векторного произведения векторов a и b на вектор c. Смешенное произведение векторов a, b, c обозначается символом abc. Таким образом, по определению

abc = (a´b)c.

Теорема 1. Модуль смешенного произведения трех некомпланарных векторов a, b,c равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, при этом, если тройка векторов a, b,c правая, то abc > 0, если тройка векторов a, b,c - левая, то abc < 0.

Доказательство. Отложим векторы a, b,c от точки O: a =  , b = , c = , и построим на их как на ребрах параллелепипед OADBCA₁D₁B₁ . Через точку О проведем прямую l перпендикулярную плоскости OAB. Найдем проекцию С₁ точки С на прямую l. Тогда вектор  является проекцией вектора  на l. Длина вектора  равна высоте h построенного параллелепипеда.

Построим вектор a´b, который по определению ортогонален векторам a и b, и поэтому перпендикулярен плоскости OAB . Таким образом, вектор a´b коллинеарен вектору . По свойству скалярного произведения

(a´b) c = |a´b| пр_a´bc = ±|a´b|| | = ± S _{основ .}× h = ±V _{параллелепипеда},                                (1)

где стоит знак "+", если a´b ­­ , и стоит знак "-", если a´b ­¯ . Таким образом, |(a´b)c|= V _{параллелепипеда}.

Далее a´b ­­ тогда и только тогда, когда тройки векторов a, b, a´b и a, b,c ориентированы одинаково, т.е. a, b,c правая тройка. Тогда из (1) следует, что,если тройка векторов a, b,cправая, тоabc > 0, если тройка векторов a, b,c - левая, тоabc < 0.

Теорема 2. Векторы a, b,c компланарны тогда и только тогда, смешенное произведение abc = 0.

Доказательство. ( Þ ) Пусть векторы a, b,c компланарны. Вектор a´b ортогонален векторам a и b, и поэтому он ортогонален вектору c, который изображается в плоскости, параллельной векторам a и b. Так как a´b^c, то (a´b)c = 0.

( Ü ) Пусть abc = 0. Докажем, что векторы a, b,c компланарны. Если допустить, что они некомпланарны, то объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах ¹ 0. Тогда по теореме 1 abc = =±V ¹ 0. Получаем противоречие.

 2. Смешенное произведение векторов в координатной форме.

 Пусть i, j, k ортонормированный базис пространства V₃, вектора которого образуют правую тройку. Пусть a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂) , с = (x₃, y₃, z₃) координаты этих векторов в базисе i, j, k. Тогда по формулам (5) § 5 и (1) § 6 получим

a´b =( , - , ), (a´b)c = x₃ - y₃ + z₃.

Последнюю формулу по теореме о разложения определителя по строке можно записать в виде:

(a´b)c = .                                                                         (2)

Так как при перестановке двух строк в определителе значение определителя меняется на противоположное, то при перестановке двух векторов в смешенном произведении его знак меняется на противоположный:

abc = -bac = bca = -bac = cab = -cba.                                          (3)

Из теоремы 1 получаем следствие.

Следствие 1. Пусть a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂) , с = (x₃, y₃, z₃) координаты векторов в ортонормированном базисе. Тогда объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах равен модулю определителя, составленного из координат этих векторов:

V = |(a´b)c| = ,                                                                       (4)

где стоит знак "+", если тройка векторов a, b,c правая, знак "-", если тройка векторов a, b,c - левая.

Следствие 2. Векторы a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂) , с = (x₃, y₃, z₃) компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю, т. е.

=0.