Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Определение 5. Базис e₁, e₂, …, e_n,векторного пространства V называется ортонормированным, если

1) вектора базиса попарно ортогональны, т.е. e_i ^ e_j; i , j = 1, 2, …, n, i ¹ j.

2) вектора базиса имеют единичную длину, т.е. |e_i| = 1; i = 1, 2, …, n.

В силу теоремы 5 условие ортонормированности базиса равносильно равенствам:

e_i e_j =

Теорема 6. Скалярное произведение двух векторов a = (a₁, a₂,... ,a_n), b = (b₁, b₂,... ,b_n), заданных своими координатами в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений, соответствующих координат этих векторов, т.е.

a b = (a₁b₁, a₂b₂,... ,a_nb_n).                                                        (4)

Доказательство. Пусть e₁, e₂, …, e_n - ортонормированный базис. По определению координат вектора a = a₁e₁+ a₂e₂ +... + a_ne_n, b = b₁ e₁+b₂ e₂ +... + b_ne_n. Тогда по свойствам скалярного произведения и определению ортонормированного базиса получаем

 a b = e_i e_j =  e_i e_j = e_i e_i = .

Стандартный ортонормированный базис пространства V₃ обозначается буквами i, j, k, координаты векторов в этом базисе обозначаются буквами x, y, z: a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂). Тогда имеем

a b = x₁x₂ + y ₁y₂ + z₁z₂.                                                       (5)

По теореме 5 получаем следствие.

Следствие 1. a ^ b Û x₁x₂ + y ₁y₂ + z₁z₂ = 0.

По теореме 4 свойства скалярного произведения a²= |a|². Отсюда выводим формулу для длины вектора с = (x, y, z),

|с| = .                                                           (6)

Если вектора a и b не нулевые, то определения скалярного произведения векторов находим формулу для косинуса угла j между векторами a и b:

cos j = (a b) /(|a||b|) = ,                      (7)

Стандартный ортонормированный базис пространства V₂ обозначается буквами i, j, координаты векторов в этом базисе обозначаются буквами x, y: a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂), с = (x, y). Тогда имеем

a b = x₁x₂ + y ₁y₂.                                                             (8)

Следствие 1. a ^ b Û x₁x₂ + y ₁y₂  = 0.

|с| = .                                                           (9)

Косинус угла j между векторами a и b находится по формуле:

cos j = .                                                      (10)

 3. Ориентации троек векторов. Векторное произведение векторов и его свойства.

1. Ориентация векторов. В пространстве различают два вида упорядоченных троек векторов.

Определение 1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой (левой), если эти вектора, отложенные от одного начала, располагаются так же, как расположены большой, указательный средний пальцы правой (левой) руки.

Данному правило различия правой и левой троек векторов можно придать следующие равносильные формулировки.

Правило правого винта или буравчика. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c является правой (левой), если правый (левый) винт вращать по наименьшему углу от вектора a к b, то направление винта совпадает с направлением вектора c.

Тройка a, b, c правая, если смотреть с конца вектора на плоскость векторов , то поворот a от b к по кратчайшему углу происходит против часовой стрелки.

Замечание 1. Так как в самой геометрии нет понятия правого и левого, то необходимо дать такое определение, которое основывается только на понятиях самой математики. Для этого выберем, какую-нибудь тройку векторов и назовем ее основной (правой). Далее две тройки векторов назовем ориентированными одинаково (противоположно), если определитель матрицы перехода от первой тройки ко второй >0 (<0). Тогда все тройки, ориентированные одинаково с основной тройкой назовем правыми, а остальные тройки назовем левыми.