Векторное произведение.

Определение 7. Векторным произведением неколлинеарных векторов a и bназывается вектор с, который обладает следующими свойствам:

1) длина вектора с равна произведение модулей этих векторов на синус угла между этими векторами, т.е. |с| = |a||b| sin Ð( a, b);

2) вектор с ортогонален векторам a и b;

3) векторы a,b, собразуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов a и b обозначается символом

a ´ b или [a, b].

Из определения 7 следует, что модуль векторного произведения неколлинеарных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если векторов a,b коллинеарны, то полагаем векторное произведение равным 0.

Теорема 1. Для любых векторов a, b,c и для любого числа l справедливы следующие свойства:

1) a ´ a = 0,

2) a ´ b = -b ´ a - антикоммутативный закон,

3) (l a)´ b = l (a ´ b) - ассоциативный закон,

4) (a + b) ´ c = a ´ c + b ´ c - дистрибутивный закон.

Доказательство. 1. Так как Ð( a, a) = 0, то | a ´ a| = |a||a| sin 0 = 0, и a ´ a = 0.

2.По первому свойству определения 7 модули векторов a ´ b, b ´ a равны. По второму свойству - эти вектора ортогональны векторам a и b и поэтому коллинеарны. По третьему свойству они противоположно направлены. Отсюда следует, что a ´ b = -b ´ a.

3.По первому свойству определения 7, и определению произведения вектора на число модули векторов (l a)´ b, l (a ´ b) равны |l| |a||b| sinÐ( a, b). По второму свойству - эти вектора коллинеарны. Если l> 0, они сонаправлены с вектором a ´ b,если l < 0, они направлены противоположно вектору a ´ b. Отсюда следует равенство 2.

4. Если хотя бы один из векторов a, b,c равен 0 то свойство 4 очевидно. Допустим, что эти вектора неравны нулю, и отложим их от точки O: a =  , b = , c = , и проведем через точку плоскость a перпендикулярную направленному отрезку  (см. рис. 25).

Если вектор a неколлинеарен вектору c, то вектор a ´ c ортогонален векторам a и c и поэтому лежит в плоскости a. Спроектируем точку A на плоскость a. Получим вектор отрезок , длина которого равна |a| sinÐ( a, с). Вектор a ´ c ортогонален вектору , его длина равна |a||с| sin Ð( a, с) = |с|. Тройка векторов a, c, a ´ c - правая.

Таким образом, a ´ c получается из вектора a по правилам:

спроектируем  на плоскость, получим вектор ;

повернуть вектор на плоскости на угол 90 по правилу правой руки, получим вектор ;

умножим вектор  на число |с|.

Очевидно, это справедливо и в том случае, когда векторы a и c коллинеарен.

Аналогичным образом получатся векторы (a + b) ´ c и b ´ c из векторов a + b и b (см. рис. 25).

Имеем a + b =  = + , то по свойству проекции имеем  = + . Повернем каждый из векторов , ,  на угол 90^о, если смотреть на плоскость a с конца вектора c. Получим вектора , , . Так как при повороте взаимное расположение векторов сохраняется, и сумма векторов переходит в сумму векторов, то  = +  

Умножением каждый из векторов , ,  на число |a| и получим вектора , , , равные соответственно векторам (a + b) ´ c, a ´ c, b ´ c. В силу дистрибутивного закона =|a|  =|a| +|a| = + . Поэтому (a + b) ´ c = a ´ c + b ´ c.