Векторная проекция вектора на прямую.

Геометрические векторы

 Семестр 4. Лекции 2. Скалярное, векторное и смешенное произведения векторов

План

1. Угол между векторами. Проекция вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства.

2. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

3. Ориентации троек векторов. Векторное произведение векторов и его свойства.

4. Векторное произведение векторов в координатной форме.

5. Смешенное произведение

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 197, с. 7-22.

2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.: Инфра - М, 2000. с. 72-87

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 16-26.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 148-156.

Угол между векторами. Проекция вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства.

1. Числовая ось. Прямая l , на которой выбрано начало отсчета - точка O , положительное направление и единичный отрезок, называется числовой осью. Числовую ось можно также задать точкой O и вектором e единичной длины, параллельным оси. Вектор e называется ортом числовой оси. В качестве единичного отрезка выбирается конец вектора  = e, отложенного от точки O.

Координатой точки A на числовой оси называется координата x вектора  в базисе e:  = x e. Координату точки обозначаем символом A(x). Координаты точки устанавливают биективное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством R действительных чисел.

Угол между векторами.

Определение 1. Углом j между векторами a, b называется угол между направленными отрезками , , которыми изображаются данные вектора и которые отложены из одной точки.

Угол между векторами обозначаем символом Ð(a, b).

Если вектора a, b коллинеарны, то угол между векторами считается равным нулю. Если хотя бы один из векторов a или b нулевой, угол между векторами a и b неопределен.

Угол меду векторами в пространстве не ориентированный. Угол меду векторами на плоскости ориентированный. Угол считается положительным, если поворот от первого вектора ко второму совершается в направлении против часовой стрелки. В противном случае угол считается отрицательным.

Нетрудно доказать, что угол меду векторами не зависит от точки O.

Векторная проекция вектора на прямую.

Определение 2. Проекцией точки A на прямую l называется основание A ¢ перпендикуляра AA ¢, опущенного из точки A на прямую l.

Определение 3. Проекцией направленного отрезка на прямую l называется направленный отрезок , где A ¢ и B ¢ соответственно проекции точек A и B на прямую l.

Определение 4. Проекцией (векторной проекцией) вектора a на прямую l называется вектор, изображаемый проекцией направленного отрезок, который изображает данный вектор a.

Векторная проекция вектора a на прямую l изображается символом пр_l a.

Теорема 1. Векторная проекция пр_l a не зависит от направленного отрезка, которым изображается данный вектор a.

Доказательство. Пусть вектор a изображается направленным отрезком , проекция  на прямую l (см. рис. 21).Точки A ¢ и B ¢ можно получить, проведя через точки A и B плоскости перпендикулярные прямой l. От точки A ¢ отложим вектор a: a = . Четырехугольник A ¢ ABK  - прямоугольник. Так как A ¢ A ^ l , то BK ^ l и плоскость B ¢ BK ^ l. Тогда BK ^ l и точка B ¢ - проекция точки K. Таким образом, направленные отрезки  и  имеют одну и туже проекцию .

Пусть вектор a изображается также направленным отрезком ,  проекция  на прямую l.От точки С ¢ отложим вектор a: a = . Направленные отрезки  и  имеют одну и туже проекцию . Докажем, что = .

Так как треугольники A ¢ B ¢ K и C ¢ D ¢ L равны, то A ¢ B ¢ = C ¢ D ¢.  Так как лучи A ¢ B ¢ и C ¢ D ¢ сонаправлены, то = .

Теорема 2. Для любой прямой l, для любых векторов a, b и для любого числа l справедливы следующие свойства:

1) пр_l (a + b) = пр_l a + пр_l b;

2) пр_l (l a) = l пр_l a.

Доказательство. Возьмем точку O на прямой lи построим сумму векторов a, b: a + b = =  (см. рис. 22). Пусть A ¢ и B ¢ проекции точек A и B на прямую l. Тогда

пр_l (a + b) = =

= пр_l a + пр_l b.

Свойство 2 докажите самостоятельно ( рассмотрите три случая l =0, l > 0, l < 0).