Что и требовалось доказать.

Теперь покажем, что функция , определенная в узлах сетки  соот­ношением

      ,            (3.16)

 

равномерно ограничена по .

Здесь под равномерной ограниченностью подразумевается следую­щее: .

Рассмотрим выражение:

 

 

С учетом (3.1), получаем

 

.

 

Зафиксируем некоторую точку , и преобразуем правую часть последнего равенства. Сумма первых двух слагаемых равна .

 

 

Далее, отметим, что

 

, ,

 

тогда, используя разложе­ния по формуле Тейлора в окрестности точки   с остаточным членом в форме Лагранжа, имеем следующие представления:

 

где точки  а  тогда

 ,   (3.17)

,          (3.18)

,                 (3.19)

          .               (3.20)

 

В результате применения (3.17), (3.18), (3.19), (3.20) получим

 

(3.21)

 

Поскольку любая производная от (x) и (x) непрерывна на  (а зна­чит, ограничена), то правая часть (3.21) представляет собой вели­чину, модуль которой ограничен числом , где константа  не зави­сит от  и , при этом,  Учитывая сказанное, получим соотношение

 

,

 

из которого следует неравенство

 

,                 (3.22)

 

так как , следовательно, исходя из (3.1.16)

 

.

 

Поэтому из неравенства (3.22) выводится оценка

 

 

для любого , так как , то

 

                       .                                   (3.23)

Тем самым мы показали, что при  выполняется равенство

 

где

1)  – гладкая функция, определенная на от­резке  и не зависящая от ;

2)  – функция, определенная в узлах сетки , со значениями по­рядка .

Изложим теперь метод повышения точности основанной на доказан­ном разложении. С этой целью построим сетки:

 

 

На каждой из них построим соответствующую разностную схему:

 

                  (3.24)

Пусть функции  и  – решения, полученные с помощью разностных схем  (3.24)  (точность каждого из решений является величина порядка ). Соста­вим в узлах сетки  линейную комбинацию приближенных реше­ний:

                                   (3.25)

 

и покажем, что функция (x) приближает (x) с точностью четвертого порядка по шагу  в узлах сетки .

Согласно (3.6) справедливы разложения:

 

 

откуда, используя (3.25), следует, что

 

.

 

Учитывая оценку (3.23), будем иметь

 

т. е.

                      .                            (3.26)

 

Таким образом, уточненное решение (3.25), построенное при по­мощи ли­нейной комбинации из приближенных решений задачи (3.1) (с точно­стью второго по­рядка относительно шага ), аппроксимирует решение (x) диффе­ренциальной задачи в узлах сетки  с поряд­ком .

Определение. Построенный подход к получению приближенного решения более высокого порядка точности, на основе приближенных значений се­точных функций меньшего порядка точности, называется методом экстра­поляции Ричардсона.

Пример (иллюстрация оценки (3.26) – результата численного экс­пери­мента).

Рассмотрим дифференциальную задачу первого порядка

 

 

решением кото­рой яв­ляется функция: .

Построим сетки , где  и соответствующие им разностные схемы . После нахождения с помощью них приближенных решений определим величины

.

Затем на каждой сетке с шагом  составлялась линейная комби­нация из двух решений: , и вновь вычислялась величина погрешности

.

 

Получены следующие результаты:

1)  величина погрешности не экстраполированных реше­ний равна , ;

2)  величина погреш­ности экстраполированного ре­шения равна .

 

Вывод. Приведенные численные результаты показывают высокую эффективность экстраполя­ции Ричардсона в рассматриваемом примере.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящее пособие включает в себя необходимый теоретический и практический материал по теории разностных схем, предусмотренный про­граммой подготовки специалистов вузов.

Большое внимание при изучении следует уделить прикладному харак­теру раздела математики. Подробное изложение учебного мате­риала, большое количество примеров позволяют студенту самостоя­тельно осво­ить некоторые разделы программы курсов «Геометрическое моделирование в САПР» и «Модели и методы анализа про­ектных решений».

Авторы надеются, что овладение теорией разностных схем поможет формированию инженерного мышления будущего специалиста.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук – М. : Лань, 2009. – 320 с.

2. Самарский, А.А. Устойчивость разностных схем / А.А. Самарский, А.В. Гулин – М. : Либроком, 2009. – 386 с.

3. Волков, Е.А. Численные  методы / Е.А. Волков – М. : Лань, 2004.
– 256 с.

4. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М. : МГУ, 2006. – 636 с.

5. Самарский, А.А. Введение в численные методы / А.А. Самарский.
– М. : Лань, 2009. – 288 с.

6. Романко, В.К. Разностные уравнения / В.К. Романко – М. : Бином, 2010. – 112 с.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................ 3

1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ..................................................................................................... 4

1.1. Понятие о порядке точности и об аппроксимации............................. 4

1.1.1. Понятие о сетке и сеточной функции........................................ 4

1.1.2 Порядок точности разностной схемы........................................ 6

1.1.3. Порядок аппроксимации разностной схемы.......................... 13

1.1.4. Неустойчивая разностная схема............................................. 14

1.2. Сходимость разностной схемы........................................................... 17

1.2.1. Сходящиеся разностные схемы............................................... 17

1.2.2. Проверка сходимости разностной схемы.............................. 19

1.3. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи
разностной схемой................................................................................ 20

1.3.1. Невязка .................................................................................. 20

1.3.2. Вычисление невязки................................................................... 22

1.3.3. Аппроксимация порядка ........................................................ 24

1.4. Определение устойчивости разностной схемы.
Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости.......... 25

1.4.1 Определение устойчивости....................................................... 25

1.4.2. Зависимость между аппроксимацией,
     устойчивостью и сходимостью.................................................. 26

1.5. Достаточный признак устойчивости разностных схем
решения задачи Коши........................................................................... 27

1.5.1. Вводный пример.......................................................................... 28

1.5.2. Каноническая запись разностной схемы................................ 30

1.5.3. Устойчивость как ограниченность норм степеней
     оператора перехода.................................................................... 32

1.5.4. Пример исследования устойчивости...................................... 33

1.5.5. Схема Кранка–Николсона.......................................................... 34

1.6. Необходимый спектральный признак устойчивости....................... 37

1.6.1. Ограниченность норм степеней оператора перехода
     необходима для устойчивости.................................................. 38

1.6.2. Спектральный признак устойчивости...................................... 39

2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ............................................................ 41

2.1. Уравнения в частных производных и краевые задачи................... 41

2.2. Простейшие приемы построения и исследования разностных схем
для уравнений с частными производными....................................... 43

 

 

2.2.1. Построение сетки для задачи Коши........................................ 43

2.2.2. Различные разностные схемы................................................. 49

2.2.3. Метод неопределенных коэффициентов............................... 54

2.3. Некоторые основные приемы исследования устойчивости.......... 57

2.3.1. Устойчивость по начальным данным...................................... 57

2.3.2. Необходимое спектральное условие устойчивости............. 58

2.3.3. Примеры........................................................................................ 61

2.4. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений.................. 65

2.4.1. Задача Дирихле для уравнения Пуассона
     на прямоугольнике....................................................................... 65

2.4.2. Области с криволинейной границей........................................ 69

3. МЕТОД ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ....................................................... 70

3.1. Экстраполяция Ричардсона................................................................. 70

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................... 73

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................ 73

 

 

Учебное издание

 

Рукавишников Алексей Викторович

Рукавишников Виктор Анатольевич