Второй способ аппроксимации граничных условий

Назовем совокупность узлов  приграничными, а множество узлов  – граничными узлами сеточной об­ласти. В узлах множества  уравнение (2.34) заменим уравнением (2.40), а в узлах множества  поло­жим , т. е. в этом случае граничное условие выполнено точно.

Рис. 2.12. Аппроксимация граничных условий

На (рис. 2.12) узел  из множества  (приграничный). Для определенности бу­дем считать, что узлы ,   и  не принадлежат множеству  (от­резки, соединяющие их с узлом , принадлежат ), а узел   принадле­жит  (в этом случае узел  соответствует точке ).

Тогда аппроксимация (2.34) в приграничном узле (m,n) берется в виде:

 

.    (2.42)

 

Здесь  – расстояние между узлами (m–1,n) и (m,n). Аналогично посту­паем и в ос­тальных приграничных узлах . Узлы множества  называют регуляр­ными, а узлы множества  – нерегуляр­ными. При этом: .

  Вывод. При такой аппроксимации граничных условий, порядок сходимости приближенного решения к сеточной функции имеет тот же порядок, что и для прямоугольной области.

 

 

3. МЕТОД ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ

В этом разделе познакомимся с методом повышенной точно­сти – экстраполяцией Ричардсона. Изложим схему обоснования повышенной точности экст­ра­поли­рованного решения и приведем численные результаты, иллю­стри­рующие практическую эффективность алгоритма.

 

3.1. Экстраполяция Ричардсона

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

                                                          (3.1)

с начальным условием

          .                                        (3.2)

Предположим, что заданная функция (x) бесконечно дифференцируема на . Для числен­ного решения задачи построим равномерную сетку  с шагом , а также введем набор средних точек, который обозначим через .

В соответствии со схемой Кранка–Николсона  (см. п. 1.5.5) заме­­ним уравнение (3.1) в точках  системой алгебраических уравнений, т. е. 

 

(3.3)

где

 

Дополним систему уравнений (3.3) условием

 

                                                                            (3.4)

 

Решением задачи (3.3), (3.4) будет функция , которая при­ближает функцию (x) со вторым порядком точности, как было показано в п. 1.5.5,
в узлах сетки ; если , то

                            ,                            (3.5)

где  не зависит от .

Рассмотрим погрешность решения как разность приближенного реше­ния  и сеточной функции  в узлах сетки

Покажем, что при  справедливо разложение

 

                  ,        (3.6)

 

где  – некоторая гладкая функция, определенная на отрезке  и не зависящая от , а  – функция, определенная в узлах сетки , со значе­ниями порядка .

Сначала положим, что разложение (3.6) имеет место. Тогда перепи­шем его в таком виде

.

Следовательно, в узлах сетки , будем иметь

 

                                                                (3.7)

.                       (3.8)

 

Разложим в равенстве (3.7) функции  и  по формуле Тейлора в ок­рестности точки  с остаточным членом в форме Пеано:

 

 

следовательно, и

,

тогда

,

и

.

 

Поскольку коэффициенты при h⁰ и h² не зависят от h, а остальные сла­­гаемые в левой части предположительно имеют более высокий поря­док малости (четвертый), то ввиду произвольности  следует выполнение во всех точ­ках сетки соотношений:

 

                                                                     (3.9)

               .                           (3.10)

Аналогично рассуждая относительно  (3.1.8), прейдем к тому, что

 

                                                    (3.11)

 

Формулы (3.9) и (3.10) будем толковать как уравнения, которым должны удовле­творять функции  и , а (3.11) как их начальные условия.

Отметим, что для функции (x) эти условия выполняются автоматиче­ски, поскольку она является решением задачи (3.1), (3.2). Относи­тельно функции (x) получили важную информацию, которой восполь­зуемся в дальнейшем.

Заметим, что благодаря (3.11), (x) – решение дифференциального уравнения

                                                 (3.12)

с начальным условием

                            .                                      (3.13)

 

Задача (3.12), (3.13) разрешима, и имеет единствен­ное ре­шение:

 

           ,                    (3.14)

 

которое бесконечное число раз дифференцируемо по  на отрезке . При этом по­строенная функция  не зависит от параметра .

Сейчас мы покажем способ получения представления (3.14), решения дифференциального уравнения (3.12), с начальным условием (3.13).

Сделаем замену  в правой части (3.12), тогда

 

           .                              (3.15)

 

Решаем однородное обыкновенное дифференциальное уравнение:

 

,

 

где  – константа, зависящая от переменной .

Следовательно, будем иметь

 

.

 

Далее, подставляем полученное для  выражение вместе с выражением для :  в (3.15), тогда  и .

В правой части сделаем замену переменной  x  на  и проинтегрируем обе части от ноля до , получим

,  

где  – константа, не зависящая от ; подставим  в выражение для :

 

,

 

 благодаря  тому, что .