Идеальное с точки зрения сходимости .

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Рекомендовано
Методическим советом ДВГУПС
в качестве учебного пособия

 

 

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

2012

УДК 517.962 (075.8)

ББК В 161.69я73

   Р 844

 

Рецензенты:

 

Доктор физико-математических наук, заведующий отделом
теоретической и прикладной математики

Института прикладной математики ДВО РАН

А.В. Устинов

 

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
«Информатика и информационные технологии» ДВГГУ

И.А. Ледовских

 

Рукавишников, А.В.

Р 844    Метод конечных разностей : учеб. пособие / А.В. Рукавишников, В.А. Рукавишников. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2012. –  83 с.: ил.  

       

Излагаются основные положения теории разностных схем и ее при­ме­нения для различных классов задач.

Учебное пособие предназначено для студентов 4–5-го курсов очной формы обучения, изучающих дисциплины «Геометрическое моделирование в САПР» и «Модели и методы анализа про­ектных решений», а также для аспирантов и преподавателей инженерных специальностей.

 

УДК 517.962 (075.8)

ББК В 161.69я73

 

 

© ДВГУПС, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Многие естественные процессы и явления описыва­ются с помощью дифференциальных уравнений. Встает вопрос: как численно найти решение поставленной задачи, какой вычислительный метод при этом выбрать? В настоящем пособии в качестве численного подхода предлагается использовать метод конечных разностей, основанный на замене производных разностными отношениями. В результате такой за­мены получаем разностную схему решения исходной задачи, при численном решении которой, естественно возникают вопросы: о сходи­мости и скорости сходимости приближенного решения к точному реше­нию дифференциальной задачи, от чего она зависит. В связи с этим познакомимся с понятиями аппрокси­мации и устойчивости разностной схемы, их взаимосвязью со сходи­мостью, а также убедимся в том, что наугад выбранная, аппроксими­рующая исходную задачу на решении, разностная схема приводит к не­утешительному результату, а именно, в большинстве случаев численно полученное решение не сходится к истинному решению дифференци­альной задачи. Поэтому основное внимание необходимо заострить на спо­собах проверки устойчивости при выборе разностной схемы.

При подготовке этого пособия ставилась цель: дать студентам в дос­туп­ной форме необходимые сведения о методе конечных разностей как способе приближенного решения дифференциальных задач, представ­ляю­щих практический интерес. Следует отметить, что все теоретические аспекты метода в разработке, для удобства, подробно разобраны на конкретных примерах. В ходе изучения предложенного в пособии мате­риала можно проследить взаимосвязь представленной теории с уже изученными дисциплинами из математического цикла на более ранних курсах.

Пособие состоит из трех разделов.

Первый раздел посвящен построению разностных схем для обыкно­венных дифференциальных уравнений, сначала даны интуитивные оп­ределения объектов рассмотрения, раскрывающие их сущность, а по мере погружения в материал – их точные ма­тематические формулировки.

Второй раздел – построению разностных схем для уравнений с част­ными производными. В частности, знакомит с особенностями по­строения численного метода решения уравнения Пуассона на плоско­сти, в области с криволинейной границей. Кроме этого, дается описание общего способа построения разност­ных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение с заданной точностью, – метод неопределенных ко­эффициентов.

Третий раздел пособия знакомит читателя с методом повышения точности разностной схемы, на основе разностных схем меньшей точно­сти, – экстраполяция Ричардсона.

 

1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Понятие о порядке точности и об аппроксимации

Этот подраздел посвящен вопросу сходимости решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных урав­нений, которые они приближают.

 

1.1.1. Понятие о сетке и сеточной функции

Дифференциальную задачу будем записывать в виде символьного равенства:

                                                                                   (1.1)

 

где  – левая, а  – правая части дифференциальной задачи.

Пример. Запишем задачу 

                                                    (1.2)

в виде (1.1)

.

 

Отметим, что пока, для простоты, краевую дифференциальную за­дачу (1.1) будем рассматривать на отрезке  (то есть ограничимся одномер­ным слу­чаем). Пусть .

Определение. Сеткой назовем совокупность конечного числа точек на отрезке , которую будем обозначать через .

Определение. Через  обозначим совокупность значений реше­ния  задачи (1.1) в точках сетки  (узлах), которую назовем сеточ­ной функцией.

Предполагается, что сетка  зависит от параметра , который мо­жет принимать сколь угодно малые положительные значения.

Разбиение отрезка D:

 

x₀     x₁ x₂ x₃                    x_N

                                                   .

0                                           1

 

Можно положить ,  – натуральное число и принять за сетку  совокупность точек  (индекс n – целое число):  

Определение. Параметр  будем называть шагом сетки .

Искомая сеточная функция  в точках  сетки  принимает зна­чение , т. е. . Для приближенного нахождения функции  воспользуемся следую­щим методом.

Рассмотрим задачу

                             

 

                                                                                                       (1.3)

            

 

где А и b – заданные числа.

Заменяем производную  в (1.3) на разностное отношение , тогда уравнение (1.3) примет вид:

 

                          .                      (1.4)

Обозначение. Приближенное значение, искомой функции  в узлах  сетки  будем обозначать через , а их совокупность – через .

Перепишем (1.4) согласно введенным обозначениям в узлах сетки :

 

                                          (1.5)

 

Определение. Систему вида (1.5) будем записывать следующим образом:

                                                                                (1.6)

 

и называть разностной схемой для задачи (1.3)

 

Замечание. Приближенное решение , т. е. то решение, которое мы находим с помощью разностной схемы (1.6), определено на той же самой сетке , что и сеточная функция .

Рис. 1.1. Сетка с неравномерными шагами (со сгущением узлов вблизи нуля)

Замечание. Сетка может состоять из точек, которые расположены не­равномерно на ; выбором расположения точек  можно добиться того, чтобы искомая функция  решения  была подробнее при фикси­ро­ван­ном N на тех участках, где   быстро меняется (рис. 1.1).

Пример.

Набор шагов: ,
набор узлов: ;  – выбирать произвольным, но таким, чтобы   при .

Отметим, что всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, бу­дем считать, что – непрерывная функция и обладает необходимым числом непрерывных производных на .

Цель. Наша задача состоит в отыскании  в точках  с помощью функ­ции , которая «сходится» к  при измельчении сетки . Для этой цели бу­дем использовать разностные уравнения.

 

1.1.2  Порядок точности разностной схемы

Вернемся к приближенному решению задачи (1.3). Выразим значение  через  в (1.5):

т. е.

.                                    (1.7)

 

Известно, что решение дифференциального уравнения первого по­рядка (1.3) имеет вид (проверить, подставив его в уравнение)

                           

                                          (1.8)

 

Найдем оценку величины погрешности приближенного решения (1.5) в узлах сетки :

                                 (1.9)

 

Нас будет интересовать, как убывает величина погрешности  при увеличении числа точек N разбиения отрезка [0,1], или, что то же самое при умень­шении шага  сетки .

Определение. Будем говорить, что функция  ограничена от­но­сительно функции  на некотором промежутке S ( ) и записывать равенством , если существует такая по­ложительная константа C, что для любого значения  выполняется не­равенство .

Из курса математического анализа известна формула Тейлора

 

,

 

разложение функции  в окрестности точки  с остаточным членом в форме Пеано.

Раскладывая по степеням  в окрестности точки ноль, имеем

 

 .

 

Следовательно, над выражением  можно провести цепочку преобразований:

 

Таким образом, равенство (1.7) примет вид:

 

                                   (1.10)

и

                     (1.11)

 

т. е. величина погрешности  в (1.9) стремится к нулю при h→0 и имеет порядок первой степени по шагу сетки .

Вывод. В таком случае говорят, что разностная схема (1.5) имеет
первый порядок точности.

Заменим производную  в (1.3) с помощью другого разностного отно­шения , тогда уравнение в (1.3) примет вид

 

                                          (1.12)

 

Перепишем уравнение (1.12) в узлах  сетки  в следующем виде

 

.

Замечание. Уравнение (1.12) является разностным уравнением второго по­рядка. Поэтому при построении на основе таких уравнений разностной схемы требуется задавать два начальных условия: u₀ = u(0) и u₁ = u(h), тогда как дифференциальное уравнение в (1.3) есть уравнение пер­вого порядка и для него мы задаем только одно начальное условие: u(0) = b. В разно­ст­ной схеме естественно положить u₀ = b, но пока не ясно, как задавать значение u_1.

Решение уравнения  будем искать в следу-ющем виде: , следовательно, уравнение примет вид:

    

,

 

а после сокращения на величину : 

 

тогда его корни:

 

Заметим, что  Следовательно, решение будет иметь общий вид: , где  и  некоторые числа, найдем их:

1) пусть n = 0, тогда ;

2) пусть n = 1, тогда ;

3) разрешая систему уравнений  относительно  и , получаем  и , т. е.

 

                                   (1.13)

 

Разложим функцию  по формуле Тейлора в окрестности точки ноль, тогда будем иметь

 

   (1.14)

 

Разложения (1.14) дают приближенные представления для  и :

 

Пояснение. Сначала воспользовались разложением функции  по формуле Тейлора в окрестности точки ноль (y = 0):  а затем подставили при условии, что  тогда

т. е. 

           .                     (1.15)

 

Убедитесь самостоятельно, что

 

                                                (1.16)

 

Подставим приближенные выражения для  из (1.15)  и  из (1.16)   в (1.13), имеем

 

  (1.17)

 

Замечание. Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследования формулы (1.17).

Отметим, что если коэффициент , то первое слагае­мое (1.17) стремится к искомому решению (1.8) задачи (1.3).

Так как

 

т. е. не сходится к определенному пределу для всех натуральных n, то для сходимости к пределу при h→0 второго слагаемого (1.17) нужно потребовать, чтобы 

Подведем итог всему сказанному. Для того чтобы решение разност­ного уравнения  сходилось к решению  крае­вой задачи (1.3), необходимо выполнение условий

 

.   (1.18)

 

Напомним, что первое начальное условие – . Формулы (1.18) подсказывают, как можно зада­вать второе начальное условие : так как , а , при h→0, то условия (1.18) выполняются, если .

Теперь перейдем к изучению вопроса влияния способа задания началь­ного условия  для решения задачи (1.3) с помощью системы разностных уравнений вида (1.12) в узлах сетки .

Для определения значения  воспользуемся, во-первых, разложением функции  по формуле Тейлора в окрестности точки ноль (x = 0) и, во-вторых, самим дифференциальным уравнением: , тогда

 

Значение  можно задавать следующими способами:

В первом случае мы допускаем в начальном значении  ошибку
поряд­ка , а во втором – порядка h.

Выясним влияние точности задания начального условия , на величину погрешности в решении, в каждом из случаев:

1)   

 

Отметим, что полученные разложения удовлетворяют (1.18) при  и, кроме того, подставляя в (1.17), получаем

 

                             .                           (1.19)

2) , :

 

и, следовательно, подставляя в (1.17)

 

т. е.

.                                   (1.20)

 

Таким образом, если допустить в начальных данных ошибку порядка h, то и ошибка в решении (1.20) будет порядка h.

Следовательно, если начальное значение u₁ задается с точно­стью до величины порядка h², то и величина погрешности решения будет по­рядка h²,
т. е. разностная схема имеет второй порядок точности.

Вывод. Решение с помощью разностных уравнений

 

                                            (1.21)

в отличие от

                                                        (1.22)

 

может дать более высокий порядок точности, а именно, точность с остаточным членом порядка h², а не порядка h, как (1.22). Чтобы полу­чить второй порядок точности, надо, задавая точное , выбирать , отли­чающееся от значения точного решения дифферен­циального уравне­ния в точке , на величину порядка h². Если задавать начальное значение  с ошибкой порядка h, то и решение получим с ошибкой того же по­рядка.

 

1.1.3. Порядок аппроксимации разностной схемы

Интересно понять, с чем связано то обстоятельство, что решение с помощью разностного уравнения

      

 

оказывается менее точным, чем с помощью

 

.

 

Эти разностные уравнения различаются приближенными выражениями для производ­ной  в точке x.

Заменим  и  их тейлоровскими разложениями в окрестности точки :

 

Пользуясь ими, получим

 

 

В первом случае мы имеем аппроксимацию (т. е. разность между производной и разностным отношением)   с первым по­рядком точности, а во втором – со вторым порядком.

 

Замечание. Рассмотренные при­меры наводят на мысль: порядок точности решения разност­ных уравнений (порядок сходимости приближенного решения, полученного с помощью разностных уравнений, к точному решению в узлах сетки ) может быть сделан равным порядку аппроксимации про­извод­ных дифференциального уравнения. Однако оказывается, что в такой об­щей формулировке эта гипотеза неверна. На разностные схемы, для кото­рых будет доказана ее справедливость нам придется наложить одно весьма существенное ограничение – требование устой­чивости. Необходи­мость этого ограничения станет ясной из следующего примера.

1.1.4. Неустойчивая разностная схема

Вернемся к рассмотрению задачи (1.3). Для составления разностной схемы при­ближающей это уравнение, достаточно заменить производную  каким-либо аппроксимирующим ее разностным отношением. Мы рас­смотрели в предыдущих подпунктах разностные отношения  и , очевидно также, что любое выраже­ние вида

 

 

будет приближать  в точке , где  – произвольное число. В самом деле

 

 

Получаем семейство разностных уравнений, определяющих семейство разностных схем при фиксированном шаге сетки :

 

,

 

каждому значению µ отвечает своя схема. Ранее мы рассматривали случаи  и .

Рассмотрим разностное уравнение, определяющее разностную схему с шагом  при

 

.

 

Перепишем уравнение в следующем виде:

   

,

 

тогда решение, полученное с помощью соответствующей разностной схемы, запишем в виде (1.13), предварительно сделав необходимые элементарные пре­обра­зования:

 

,

 

где  и  – корни квадратного уравнения      

 

.

 

С помощью разложений по формуле Тейлора в окрестности точки ноль, с остаточным членом в форме Пеано, представим корни  и , а затем  и :

т. е.                              

,

т. е. , тогда  и :

т. е.                 и ,  

 

следовательно,

 

.            (1.23)

 

Прежде чем исследовать, к чему стремится  при , мы должны указать, как задаются начальные условия  и  разностного решения. Рассматриваем задачу (1.3), тогда , следовательно, возьмем в качестве начальных данных  и  и подставим в формулу (1.23)

 

 

Таким образом, получим

 

Первое слагаемое при h→0 стремится к решению (1.8), чтобы к нему сходилось все выражение для u_n, необходимо, чтобы второе слагаемое стремилось к нулю при h→0.

Однако это не так:  стремится к конечному и не рав­ному нулю пределу , а  стремится к бесконечности быст­рее любой положительной степени .

Вывод. Мы показали, что разностная схема, аппроксимирующая диф­фе­ренциальное уравнение, может иметь решение, не сходящееся при  h→0  к решению дифференциального уравнения.

 

Можно подумать, что причина этого в недостаточно точном выборе значения u₁. Однако мы сейчас покажем, что сходимости не будет, даже если вы­брать u₁ точно равным решению дифференциального уравнения в точке  т. е. положить .

Вычислим

 ,

 

тогда

 

Второй член снова стре­мится к бесконечности при h→0.

 

Замечание. Такого рода разностные схемы называ­ются неустойчивыми. Естественно, что они не пригодны для численного решения дифференциального уравнения.

 

1.2. Сходимость разностной схемы

В предыдущем подразделе, на примерах выяснили, что такое аппрок­си­мация дифференциальной задачи разностной задачей и в чем со­стоит сходимость, благодаря которой решение дифференциальной за­дачи можно приближенно вычислить с помощью разностной схемы. Мы познако­мились с явлением неустойчивости, которое может сделать разностную схему рас­ходящейся и не пригодной для вычислений.

В этом подразделе мы дадим строгое определение понятия сходимо­сти. Покажем, что доказательство схо­ди­мости не обязательно основывается на анализе формул для решений.

 

1.2.1. Сходящиеся разностные схемы

Цель: придать точный смысл самому требованию сходимости при , который предъявляем к разностным схемам.

Определение. Линейное пространство  называется нормирован­ным, если каждому элементу  этого пространства  поставлено в соответ­ствие неотрицательное число ||x|| – называемое нормой, при этом выполнены следующие три аксиомы:

1) ;

2)  – число;

3) .

Обозначения. Если  – нормированное пространство, то  – зна­чок нормы пространства .

Примеры норм:

1. ;    2. .

 

У приведенных выше норм дискретных пространств U_h есть соответствующие им аналоги норм непрерывных пространств U на отрезке :

1.    2. .

Убедитесь, что величина  действительно явля­ется нормой (необходимо проверить справедливость всех трех аксиом).

Всюду, где не оговорено противное, будем пользоваться первой нормой.

После того, как введено нормированное пространство , приобре­тает смысл понятие отклонения одной функции от другой. Если  и  – две функции из пространства , то мерой их отклонения друг от друга счита­ется норма их разности, т. е. число:

 

.

 

Теперь перейдем к строгому определению сходящейся разностной схемы. Пусть для приближенного вычисления решения дифференциаль­ной краевой задачи (1.1) составлена система разностных уравнений (разностная схема), которую записываем, как и ранее

 

                             .                                        (1.24)

 

Отметим, что (1.24) (разностная краевая задача) – это не одна сис­тема, а семейство систем, зависящее от параметра .

Будем полагать, что при каждом рассматриваемом достаточно ма­лом шаге  существует решение  задачи (1.24), принадлежащее про­стран­ству .

Определение. Будем говорить, что решение  разностной крае­вой задачи (1.2.1) при измельчении сетки сходится к решению  диф­фе­ренциальной краевой задачи (1.1.1), если

               (1.25)

 

Если, сверх того, выполнено неравенство

 

                                                      (1.26)

 

где