Устойчивость установлена .

1.5.2. Каноническая запись разностной схемы

Введем новые обозначения:

 

                    , , .                           (1.48)

 

Равенства (1.44) (рекуррентные соотношения) запишем, используя (1.48) в виде:

                 (1.49)

 

тогда представления (1.45), в обозначениях (1.48), имеют вид

 

                   (1.45¢)

отсюда

.       (1.50)

 

Далее, определим нормы

 

, ,

 

тогда неравенство (1.50) примет вид:

 

          ,                       (1.51)

 

следовательно, для того чтобы разностная схема была устойчива,  необходимо показать, что , для всех натуральных чисел , где  – некоторая положительная постоянная.

Вывод. Запись разностной схемы в форме (1.49) позволила свести доказательство устойчивости к получению оценки для . Это удобно. Другие схемы также будем приводить к виду (1.49), который будем назы­вать каноническим, понимая под  различные выражения, в каж­дом конкретном примере свои.

Пример. Приведем к виду  разностную схему  за­дачи (1.42):

 

 (1.52)

 

Перепишем разностную схему (1.52) в следующем виде:

 

 

где  – матрица второго порядка (невырожденная, , ранг равен 2). Придадим этому векторному разност­ному уравнению вид рекуррентного соотношения:

 

 (1.53)

 

Если положить , , , то (1.53) приобретет требуемый вид (1.49).

Сделаем отступление, а затем вернемся к этому примеру в ­п. 1.5.4.

 

1.5.3. Устойчивость как ограниченность норм степеней
 оператора перехода

Сделаем замечание, которое одинаково применимо к уравнениям вида (1.49) независимо от размерности линейного пространства , кото­рому при­надлежат векторы  и , и от вида линейного оператора : из за­писи (1.49) следует запись (1.45 ¢ ).

Если в пространстве ( , ), введена какая-либо норма , то из равенства (1.45¢) вытекает оценка

 

(1.54)

Определение. Нормой  линейного оператора Т, отображающего ли­нейное нормированное пространство  в себя , называется число:

  или .

 

Отсюда из аксиом нормы элементов линейного пространства (см. п. 1.2.1) следует:

а) ;

б) , где l – любое число;

в) , где m – натуральное число.

Задача. Проверить, используя определение нормы линейного опера­тора T , справедливость свойств а–в.

 

Первые два из этих свойств использованы для получения оценки (1.54). Из (1.54) вытекает, что

 

. (1.55)

Утверждение. Пусть разностная схема  приведена к канони­ческому виду (1.49), и пусть нормы, введенные в пространствах ,  и , подобраны так, что выполнены неравенства:

 

                                            (1.56)

Тогда для устойчивости

 

                                                                    (1.57)

 

достаточно, чтобы нормы  степеней оператора  были (равно­мерно по ) ограничены, т. е. чтобы выполнялось условие:

 

.

 

При этом, в качестве числа С, входящего в определение устойчивости (1.57), можно взять число .

Доказательство.

Воспользуемся оценками (1.56) в условии утверждения, оценкой (1.55) и определением устойчивости разностной схемы (1.57), тогда будем иметь цепочку неравенств, которая приводит к необходимому результату утверждения

 

или

.

 

Утверждение доказано.

1.5.4. Пример исследования устойчивости

Нормы пространств  и  определим следующим образом:

,

.

Имеем

, , , .

Теперь введем норму в пространстве Y, которому принад­ле­жат векторы  и : . Нормы пространств ,  и  удовлетворяют условиям (1.56) утверждения предыдущего пункта. Поэтому для проверки устойчивости разностной схемы  достаточно показать, что

 

где  – положительная постоянная величина.

Заметим, что при выбранной в пространстве  норме векторов, норма соответствующего ему линей­ного (матричного) оператора

 

задается формулой

 

                ,                   (1.58)

 

поскольку  достигается хотя бы при одном из двух
вект­о­ров  или , то благодаря формуле (1.58) получим

 

.

 

Следовательно,

 

для всех  и устойчивость разностной схемы (1.52) установлена.

Важно. .

 

1.5.5. Схема Кранка–Николсона

Рассмотрим задачу , где

 

                      (1.59)

Введем норму в пространстве  (пространстве непрерывно-диффе­ренцируемых до m-го порядка функций на отрезке ):

 

.

 

Известно, что если , то решение  задачи (1.59) принадлежит классу  функций из пространства .

Построим сетку  с шагом , где N – натуральное число.   

Введем серединные точки отрезков, соединяющих соседние точки в сетке , их совокупность образует новую сетку, которую обозначим через :  

 

и рассмотрим разностную схему Кранка–Николсона в точках сетки  для задачи (1.59):

 

Покажем, что решение  разностной краевой задачи сходится к реше­нию  дифференциальной краевой задачи и

 

,

 

где константа С > 0 и не зависит от .

Необходимо показать:

а)             (аппроксимация порядка );

б)   (устойчивость).

Докажем утверждение пункта а:

 

          (1.60)

 

Разложим  и  по формуле Тейлора в окрестности точки , с остаточным членом в форме Лагранжа, будем иметь

,

 

где точки ,  и , , так как

 

 

тогда, подставляя выписанные выше разложения в точках , в (1.60), будем иметь

 

следовательно, если в пространствах  и  определены следующим
образом нормы: , , то .

Пункт а доказан.

Докажем утверждение пункта б. Сделаем преобразование:

 

,

тогда

, ,

( ), .

 

 

Следовательно, поскольку неравенство справедливо для любого натурального , то

,

где .

Пункт б доказан.

Вывод. Доказав пункты а и б, мы установили, что решение  разностной краевой задачи (разностной схемы Кранка–Николсона) сходится к решению  дифференциальной краевой задачи (1.59) и имеет место сходимость порядка .

 

1.6. Необходимый спектральный признак устойчивости

В предыдущем пункте мы показали, что приведение разностной схемы решения задачи Коши

                                                                         (1.61)

к виду

                                 (1.62)

 

может быть использовано для доказательства устойчивости. Если выпол­нены условия:

                     (1.63)

то оценка  достаточна для устойчивости (1.62).

Здесь мы покажем, что эта оценка при некоторых естественных усло­виях необходима для устойчивости.

Покажем, что, независимо от выбора нормы, для оценки (1.62) необ­хо­димо, чтобы спектр матрицы , т. е. совокупность корней уравнения (относительно )

                                                           (1.64)

лежал в круге

                                                               (1.65)

 

где константа С > 0 не зависит от ; Е – единичная матрица.

 

 

1.6.1. Ограниченность норм степеней оператора перехода
 необходима для устойчивости

Отметим, что если мы приводим разностную схему (1.61) к виду (1.62) с нулевой правой частью, то значения  также равны нeлю.

Пусть постоянные  и  выбраны так, чтобы вы­полнялись неравенства:

 

      и ,              (1.66)

тогда

         и     ,                           (1.67)

 

далее, используя (1.66) и (1.67), будем иметь

 

  .                 (1.68)

 

Из определения нормы линейного оператора (см. пункт 1.5.3) следует, что всегда из ко­нечномерного пространства можно выбрать такой вектор , чтобы для фик­сиро­ванной натуральной степени n оператора перехода было справедливо равенство . Поэтому для этого вектора , зависящего от величины , имеет место тождество

 

                                   (1.69)

 

и благодаря (1.68), (1.69) и (1.66)

 

,

т. е.

        .                        (1.70)

 

Из оценки (1.70) следует, что в случае устойчивости схемы (1.61) по­стоян­ная >0, входящая в определение устойчивости , должна удовлетворять оценке

 

,

т. е.

 .

Вывод. Если нормы ,  и  согласованы так, что выполнены условия (1.66), то условие (1.63) необходимо для ус­тойчиво­сти. Условие (1.63) равносильно тому, что решение  однород­ного урав­нения   для любого  удовлетворяет неравенству

 

         ,                (1.71)

 

где  – положительная постоянная.

 

1.6.2. Спектральный признак устойчивости

Для оценки  можно воспользоваться собственными значениями мат­рицы , т. е. корнями уравнения . Если  – собствен­ное зна­чение матрицы перехода , то существует ненулевой собственный вектор  (ненулевой вектор – вектор, у которого хотя бы одна ненулевая компонента), такой, что . Следовательно,

 

,    , .          (1.72)

 

Таким образом, для ограниченности норм степеней оператора перехода  необходимо, чтобы были ог­ра­ничены степени . Для этого все собственные значе­ния должны лежать в круге радиуса :

                                                               (1.73)

 

на комплексной плоскости, где С > 0 и не зависит от .

Если не выполнено (1.73), т. е. , то для произвольного положительного числа С и неко­торого достаточно малого , такого, что  (здесь символом  озна­чает, что величина  чуть меньше 1), справедливо

 

(использовали разложение по формуле Тейлора в окрестности точки ноль: ), следовательно, будем иметь

,

 

но константа С может быть сколь угодно большой и  при этом .

Вывод. Сформулированный признак оценки норм степеней оператора перехода  по рас­по­ло­жению спектра (1.73) (т. е. совокупности собственных значений) оператора  не зависит от выбора нормы в пространстве, где дейст­вует оператор . Спектральный признак устойчивости (1.73) не зави­сит от спо­соба приведения разностной схемы (1.61) к каноническому виду (1.62).

Пример. Воспользуемся необходимым спектральным признаком ус­той­чивости (1.73) и докажем, что схема, рассмотренная в подразд. 1.1, дейст­вительно неустойчива. В подразд. 1.1 строгого исследования устойчи­вости не могло быть проведено, хотя бы потому, что там еще не были введены строгие определения сходимости, аппроксимации и устойчивости.

Интересующая нас разностная схема приближает дифференциальную задачу первого порядка

и имеет вид

                (1.74)

 

Положив , приведем схему (1.74) к каноническому виду (1.62): , т. е. .   Следова­тельно, и . Выразив  через , имеем

,

т. е.

 и .

Собственные значения матрицы , , , есть корни квадратного уравнения :

 

 ,

 

следовательно,  и  при  стремится к числу 2, так, что при малых , по­этому нельзя ожидать устойчивости.

Важно. Подчеркнем, однако, что расположение спектра оператора  внутри круга радиуса :  еще не гарантирует устойчивости.

 

 

2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

В этом разделе проиллюстрируем некоторые основные способы построе­ния разностных схем и проверки их устойчивости для уравнений с част­ными производными. При этом обнаружится много важных и новых, по сравнению со случаем обыкновенных дифференциальных уравнений, обстоятельств.

Главные из них:

– разнообразие сеток и способов аппроксимации;

– неустойчивость большинства взятых наудачу аппроксимирующих схем;

– сложность исследования устойчивости;

– трудности вычисления решений разностных краевых задач, требую­щие специальных усилий для их преодоления.

 

2.1. Уравнения в частных производных и краевые задачи

В общем случае дифференциальное уравнение в частных производ­ных с  независимыми переменными можно записать в виде

 

 

Напомним, что наивысший порядок k производной от неизвестной функции , входящей в дифференциальное уравнение, называется его порядком. Будем рас­сматривать только линейные уравнения первого и второго порядка. В общем случае они соответственно записываются в виде

                                                           (2.1)

            (2.2)

 

где  – заданные функции, зависящие от переменных .

Функции  называют коэффициентами уравнения. Функция f, стоящая в правой части уравнения, называется свободным членом. Различают уравнения однородные, когда , и неоднородные в про­тивном случае.

В уравнениях, связанных с физикой, независимые переменные часто суть время и пространственные переменные координаты, для их обозначения используют буквы .

Примеры.

1. Уравнение колебания струны

 

.

2. Уравнение Пуассона

                                     (2.3)

3. Уравнение Лапласа

.

 

Желая полностью охарактеризовать физическую задачу, мы не мо­жем ограничиться только дифференциальным уравнением; необходимо добавить дополнительные соотношения, которые обычно носят харак­тер так называемых краевых (или граничных) условий.

Поясним на примере. Допустим, в теле установилось распределение температур. Если тело однородное и анизотропное, то мы приходим к уравнению (2.3), где  – тепловыделение. Одного уравнения (2.3) недоста­точно, чтобы однозначно определить распределение темпера­туры в теле , уравнения имеют бесконечно много решений, необхо­дима дополнительная информация. Ее можно получить, например, так. Поверхность  (граница) рассмотренного тела доступна для наблюдений, в лю­бой ее точке можно измерить температуру. Пусть температура  на  равна , тогда получаем дополнительное краевое условие

 

.                             (2.4)

Уравнение (2.3) при краевом условии (2.4) называют задачей Дирихле или первой краевой задачей.

Дополнительная информация для уравнения (2.3) может описы­ваться не только краевым условием (2.4). Так, если известно, что в точке  интенсивность теплового потока равна , то

 

                                                                    (2.5)

 

где  – вектор внешней нормали к .

Задача (2.3), (2.5) называется задачей Неймана или второй крае­вой задачей.

Если для уравнения (2.3) поставлено краевое условие

 

                     (2.6)

 

где – заданная функция, то задачу (2.3), (2.6) называют третьей краевой задачей.

 

2.2. Простейшие приемы построения и исследования разностных схем для уравнений с частными производными

2.2.1. Построение сетки для задачи Коши

Отметим, что определения сходимости, аппроксимации и устойчиво­сти имеют место (ничем не отличающиеся от определений для обыкно­венных дифференциальных уравнений) для уравнений с частными про­изводными.

Рассмотрим задачу Коши:

 

                 (2.7)

 

Решение ищем в полосе (шириной Т) по временному слою, длина по­лосы по пространственной переменной бесконечность (не огра­ниченна).

 – начальное условие, в момент времени  

Определение. Задача, в которой решение зависит от времени, на­зы­вается нестационарной задачей.

Пример нестационарной задачи – (2.7).

Определение. Задача, в которой решение не зависит от времени, на­зы­вается стационарной задачей.

Пример стационарной задачи – (2.3), (2.4).

Далее, запишем задачу (2.7) в следующей форме :

 

 

 

Затем построим сетку  в рассматриваемой области  (рис. 2.1):  числа , где  шаг по пространственной переменной , а  шаг по временной
переменной .

Рис. 2.1. Сетка в бесконечной полосе

 

Будем считать, что шаг t связан с шагом h отношением t = rh, где  поло­жительная по­стоянная величина, так что сетка D_h как совокупность узлов  зависит только от одного пара­метра h (см. рис. 2.1). Искомая сеточ­ная функция (таблица)  – значения ре­шения u(x,t) дифференциального уравнения с частными производными в точках сетки D_h.
Перейдем к построению аппроксимирующей за­дачу (2.7) разност­ной схемы . Значения функции u^(h) в точках  сетки D_h будем обозначать через .

Построим разностную схему для задачи (2.7). Для этого заменим частные производные и  раз­ностными отношениями в точке (x,t):

 

,

 

тогда будем иметь

 

(2.8)

 

а в виде :

 

 

где  – пара функций  и , первая задана на двумерной сетке, вто­рая – на одномерной (в момент времени ). Разностное уравнение (2.8) можно разрешить от­носительно неизвестной , используя соотношение :

                                                (2.9)

 

т. е., зная значения  решения  в точках сетки в момент времени , можно вычислить значения  в точках сетки в момент времени , где  – значения на n-м временном слое.

Поскольку известны значения на нулевом слое, т. е. , то мы, можем вычислить значения  на 1-м слое, и т. д. мы можем находить значения решения  в точках сетки на прямых  всюду на D_h.

Перейдем к выяснению порядка аппроксима­ции, которым об­ладает схема (2.8). За F_h можно принять линейное пространство всех пар ограниченных функций , положив

 

.

 

Если  или  функций не достигается, то имеется в виду их точная верхняя грань:  или .

Предположим, что решение u(x,t) задачи (2.7) имеет ограниченные вто­рые производные по x и по t. Тогда, разложив по формуле Тейлора в окрестности точки  по переменным  и , с остаточными членами в форме Лагранжа, будем иметь

 

(2.10)

 

где и  – некоторые числа, зависящие от m, n и h и удовлетворяющие не­равенствам . С помощью (2.10) выражение

 

 

можно переписать так:

 

 

а если представить в виде

то

 

следовательно, справедлива оценка для величины невязки:

 

.

 

Таким образом, рассматриваемая разностная схема (2.8) имеет пер­вый порядок аппроксимации относительно h, на