Проверка гипотезы о равенстве двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть в двух генеральных совокупностях, имеющих биномиальные распределения, производятся независимые испытания. В результате каждого испытания событие  может появиться в первой совокупности с неизвестной вероятностью , а во второй – с неизвестной вероятностью . По выборкам, извлеченным из первой и второй совокупностей, найдены относительные частоты  и  соответственно, где  – числа появлений события ,  – числа произведенных независимых испытаний ( ).

Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу  о равенстве двух вероятностей биномиальных распределений при конкурирующей гипотезе  ( ) необходимо использовать алгоритм проверки гипотезы о числовом значении вероятности события с той лишь разницей, что наблюдаемое значение критерия находится по формуле:

Пример 7. Каждый из двух стрелков произвел 100 выстрелов по мишени. Первый стрелок промахнулся 8 раз, второй – 18 раз. При уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу  о равенстве вероятностей промаха стрелков при конкурирующей гипотезе: а) ; б) .

По условию задачи .

Легко видеть, что .

Рассмотрим . В этом случае

Получили, что , значит, гипотеза  принимается. Можно считать, что вероятности промахов двух стрелков одинаковы (при этом частоты  и  промахов в проведенной серии испытаний отличаются очень существенно!).

 Рассмотрим теперь . В этом случае

Окончательно имеем , следовательно, гипотеза  отвергается, и принимается гипотеза . В данном случае можно считать, что вероятность промаха первого стрелка меньше вероятности промаха второго стрелка. Делая такой вывод (то есть отвергая нулевую гипотезу), мы совершаем ошибку с вероятностью .

Пример 7 позволяет сделать важный вывод: при некоторых исходных данных принятие или непринятие нулевой гипотезы  может зависеть от вида конкурирующей гипотезы .

ЗАДАЧИ

1. По результатам 9 замеров установлено, что среднее время выполнения некоторой операции сотрудником банка составляет 48 с. Предполагая, что время выполнения операции – нормально распределенная случайная величина с известной дисперсией 9 с², при уровне значимости 0,05 решить, можно ли принять в качестве нормативного времени (математического ожидания) выполнения операции: а) 50 с; б) 49 с.

2. Проектная контролируемая длина деталей, изготовляемых станком-автоматом, равна 35 мм. Измерения 20 случайно отобранных деталей дали следующие результаты:

Длина детали ( )	34,8	34,9	35,0	35,1	35,3
Число деталей ( )	2	3	4	6	5

При уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок проектную длину деталей (то есть гипотезу ) при конкурирующей гипотезе: а) ; б) .

3. Было произведено 8 измерений диаметра вала. При этом было установлено, что среднее значение диаметра вала равно 10,25 мм, а исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение равно 0,06 мм. Затем вал поместили в условия с низкой температурой и провели еще 12 измерений его диаметра. В этом случае среднее значение оказалось равным 10,2 мм, а исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение равным 0,05 мм. Считая, что результаты измерения диаметра вала являются нормально распределенными случайными величинами с одинаковыми дисперсиями, выяснить, можно ли при уровне значимости 0,01 сделать вывод о том, что диаметр вала значимо уменьшается при уменьшении температуры?

4. Два станка изготавливают одинаковые валики. Случайным образом для обследования выбраны по 50 валиков, изготовленных этими станками. По выборкам найдены средние диаметры валиков, которые оказались равными 182 и 184 мм соответственно. Предварительным анализом установлено, что диаметры валиков подчиняются нормальному закону распределения с дисперсией 5 мм² для первого станка и 7 мм² для второго станка. При уровне доверия 0,97 проверить гипотезу о равенстве средних диаметров валиков, изготовленных первым и вторым станками.

5. Онлайн тестирование по истории проходили студенты двух институтов. В первом институте тестирование успешно прошли 100 студентов из 200, а во втором – 180 студентов из 300. Можно ли считать, что учебный материал одинаково усвоен студентами двух институтов? Решить задачу при уровне доверия: а) 0,95; б) 0,99.

6. В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимавшего лекарство , равна 0,7. Новое лекарство  назначили 300 больным, причем 216 из них полностью выздоровели. Можно ли при уровне значимости 0,02 считать, что новое лекарство  значимо эффективнее лекарства ? Если так считать нельзя, то сколько должно быть полностью поправившихся больных, принимавших лекарство , чтобы можно было сделать такой вывод?

Ответы

1. ; а) ; нельзя принять в качестве нормативного времени; б) ; можно принять в качестве нормативного времени. 2. ; а) ; обеспечивает; б) ; не обеспечивает. 3. ; ; диаметр вала значимо не уменьшается при уменьшении температуры. 4. ;  в случае ; средние диаметры валиков нельзя считать одинаковыми, они различаются значимо. 5. ; а) ; нельзя считать, что материал усвоен студентами одинаково; б) ; можно считать, что материал усвоен студентами одинаково. 6. ; ; нельзя считать, что новое лекарство  значимо эффективнее лекарства ; чтобы сделать вывод о большей эффективности нового лекарства, должны поправиться не менее 227 больных.

Задача №1

Из нормально распределенной генеральной совокупности извлечена выборка: 10, 14, 14, 12, 10, 16, 14, 10, 14, 12, 16, 12, 16, 14, 14, 16, 12, 16, 14, 18, 12, 18, 14, 16, 14. При уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу  о равенстве генеральной средней предполагаемому значению при конкурирующей гипотезе .

Задача №2

Из нормально распределенной генеральной совокупности  извлечена выборка: 23, 20, 23, 17, 26, 23, 20, 20, 26, 17, 26, 23, 29, 23, 29, 20, 23, 23, 26, 29. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу  о равенстве генеральной средней предполагаемому значению при конкурирующей гипотезе .

Задача №3

Из нормально распределенных генеральных совокупностей  и  (генеральные дисперсии которых предполагаются одинаковыми) извлечены независимые выборки. По данным выборки, извлеченной из генеральной совокупности , найдены выборочная средняя, равная 32, и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, равное 5. Выборка из генеральной совокупности  имеет вид: 35, 20, 35, 30, 25, 35, 30, 20, 25, 30, 35, 30, 40, 30, 25, 30, 40, 30, 30, 35. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу  о равенстве генеральных средних при конкурирующей гипотезе .

Задача №4

Из нормально распределенных генеральных совокупностей  и  (генеральные дисперсии которых предполагаются одинаковыми) извлечены независимые выборки. По данным выборки, извлеченной из генеральной совокупности , найдены выборочная средняя, равная 48,5, и исправленная выборочная дисперсия, равная 35. Выборка из генеральной совокупности  имеет вид: 48, 52, 52, 56, 40, 52, 44, 52, 48, 48, 52, 44, 40, 56, 52, 48, 60, 48, 52, 44, 48, 60, 44, 56, 60. При уровне значимости 0,025 проверить нулевую гипотезу  о равенстве генеральных средних при конкурирующей гипотезе .