Проверка гипотезы о равенстве средних значений

Пусть из нормально распределенных генеральных совокупностей  и  извлечены независимые выборки, объемы которых  и  соответственно. По выборкам найдены выборочные средние  и .

Пусть генеральные дисперсии  и  известны.

Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу  о равенстве генеральных средних (математических ожиданий) при конкурирующей гипотезе  необходимо:

1) найти наблюдаемое значение критерия

2) по таблице значений функции Лапласа (приложение 2) найти критическую точку  двусторонней критической области из равенства ;

3) если , то гипотезу  принимают, а если , то гипотезу  отвергают (то есть принимают гипотезу ).

При конкурирующей гипотезе  ( ) рассматривают правостороннюю (левостороннюю) критическую область и критическую точку  находят из равенства . В этом случае, если  ( ), то гипотезу  принимают, а если  ( ), то гипотезу  отвергают.

Пример 4. Из первого озера выловили 60 рыб, их средний вес составил 160 г. Из второго озера выловили 70 рыб того же вида, их средний вес оказался равным 157 г. Предварительным анализом установлено, что вес рыб имеет нормальный закон распределения, причем дисперсия веса рыб первого озера равна 100 г², рыб второго озера – 90 г². При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве средних значений веса рыб данного вида в двух озерах.

Из условия задачи имеем: .

Сформулируем гипотезы: , .

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Найдем критическую точку. Так как , то .

Получили, что . Следовательно, гипотеза  принимается, то есть выборочные средние  и  различаются незначимо. Значит, можно считать, что вес рыб в озерах одинаков. При этом вероятность того, что принятая гипотеза верна, равна уровню доверия .

Рассмотрим теперь случай, когда генеральные дисперсии  и  неизвестны, но предполагаются одинаковыми.

Строго говоря, предположение о равенстве неизвестных генеральных дисперсий должно основываться на предварительной проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий. Однако этот материал выходит за рамки данного пособия.

В качестве критерия проверки гипотезы  используется случайная величина

которая имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы. Здесь  и  – исправленные выборочные дисперсии.

Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу  при конкурирующей гипотезе  необходимо:

1) найти наблюдаемое значение критерия

2) по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6) найти критическую точку  двусторонней критической области из равенства ;

3) если , то гипотезу  принимают, а если , то гипотезу  отвергают (то есть принимают гипотезу ).

Если конкурирующая гипотеза имеет вид  ( ), то рассматривают правостороннюю ( левостороннюю ) критическую область и критическую точку  находят из равенства  ( ). И, если  ( ), то гипотезу  принимают, а если  ( ), то гипотезу  отвергают.

Пример 5. Две группы школьников, состоящие из случайно отобранных учащихся двух крупных школ, выполнили контрольную работу по математике в тестовой форме. В первой группе – 22 школьника, во второй – 25 школьников. Средний балл за контрольную работу в первой группе оказался равным 60 при исправленном выборочном среднем квадратическом отклонении, равном 5. Во второй группе средний балл получился равным 56, а исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение – 5,4. Предполагая, что соответствующие генеральные совокупности имеют нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями, проверить при уровне значимости 0,01 гипотезу о том, что материал одинаково усвоен учащимся обеих школ.

Используя условие задачи, запишем: .

В данном случае об одинаковом усвоении материала учащимися двух школ можно говорить тогда, когда средний уровень знаний у них одинаков. Иными словами, нужно проверить нулевую гипотезу . В качестве конкурирующей гипотезы возьмем .

Наблюдаемое значение критерия будет равно

Так как , , и рассматривается двусторонняя критическая область, то по таблице критических точек распределения Стьюдента получим .

В силу выполнения условия  заключаем, что гипотеза  принимается, то есть выборочные средние  и  различаются незначимо. Следовательно, можно считать, что материал одинаково усвоен учащимся обеих школ, а различия в выборочных средних объясняются случайными факторами. При этом вероятность того, что принятая гипотеза верна, равна уровню доверия .