Проверка гипотезы о численной величине среднего значения

Пусть генеральная совокупность  распределена нормально. Если факт нормального распределения не установлен, то необходимо предварительно проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Дисперсия  (или ) генеральной совокупности может считаться известной, а может считаться неизвестной. Если объем выборки достаточно большой (как правило, это ), то  считается известной, а именно, в качестве  можно взять исправленную выборочную дисперсию , поскольку в этом случае . В некоторых случаях при малых объемах выборок ( ) генеральная дисперсия  также может быть известна на основе многократных предварительных опытов.

Пусть дисперсия  генеральной совокупности  известна.

Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу  о равенстве генеральной средней (математического ожидания)  предполагаемому значению  при конкурирующей гипотезе  необходимо:

1) найти наблюдаемое значение критерия , где  – выборочная средняя,  – объем выборки.

2) по таблице значений функции Лапласа (приложение 2) найти критическую точку  двусторонней критической области из равенства ;

3) если , то гипотезу  принимают, а если , то гипотезу  отвергают (то есть принимают гипотезу ).

Заметим, что если конкурирующая гипотеза имеет вид , то рассматривают правостороннюю критическую область и критическую точку  находят из равенства . И, если , то гипотезу  принимают, а если , то гипотезу  отвергают.

При конкурирующей гипотезе  рассматривают левостороннюю критическую область и критическую точку  также находят из равенства . В этом случае, если , то гипотезу  принимают, а если , то гипотезу  отвергают.

Пример 1. Правилами установлено, что средний вес таблетки должен быть равен 500 мг. Выборочная проверка 121 таблетки полученной партии лекарства показала, что средний вес таблетки равен 490 мг. Многократными предварительными опытами установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением 30 мг. При уровне значимости 0,01 проверить, удовлетворяет ли полученная партия таблеток установленным требованиям.

По условию задачи  и изучаемая случайная величина (вес таблетки) имеет нормальное распределение.

Необходимо ответить на вопрос: можно ли считать, что средний вес таблеток  всей партии все-таки равен 500 мг? То есть нужно проверить нулевую гипотезу .

Рассмотрим конкурирующую гипотезу вида .

Так как , то наблюдаемое значение критерия

Найдем . Поскольку , то по таблице значений функции Лапласа .

Таким образом, выполнено условие . Значит, гипотеза  отвергается, и принимается гипотеза . Другими словами, средний вес таблетки значимо отличается от допустимого веса, то есть полученная партия таблеток не удовлетворяет требованиям. При этом, отвергая нулевую гипотезу, мы совершаем ошибку с вероятностью .

В рассмотренном примере мы показали, что средний вес таблетки значимо отличается от допустимого веса. Однако, учитывая равенство , можно предполагать, что средний вес таблетки не просто отличается от норматива, но он значимо меньше этого норматива. Чтобы установить именно этот факт, следует взять другую конкурирующую гипотезу: .

Пример 2. Решить предыдущую задачу при условии, что . Имеем .

Так как , то .

Видно, что , следовательно, гипотеза  отвергается, принимается гипотеза . Таким образом, средний вес таблетки значимо меньше допустимого веса.

Пусть теперь дисперсия  генеральной совокупности  неизвестна (например, в случае малых выборок).

В качестве критерия проверки гипотезы  используется случайная величина , которая имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы.

Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу  при конкурирующей гипотезе  необходимо:

1) найти наблюдаемое значение критерия ;

2) по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6) найти критическую точку  двусторонней критической области из равенства ;

3) если , то гипотезу  принимают, а если , то гипотезу  отвергают (то есть принимают гипотезу ).

Если конкурирующая гипотеза имеет вид , то рассматривают правостороннюю критическую область и критическую точку  находят из равенства . И, если , то гипотезу  принимают, а если , то гипотезу  отвергают.

При конкурирующей гипотезе  рассматривают левостороннюю критическую область и критическую точку  находят из равенства . В этом случае, если , то гипотезу  принимают, а если , то гипотезу  отвергают.

Пример 3. По утверждению руководства фирмы средний размер контракта составляет 200000 р. Аудитор составил случайную выборку из 15 контрактов и обнаружил, что средний размер контракта равен 212000 р. при исправленном выборочном среднем квадратическом отклонении 35000 р. Предполагая, что размер контракта – нормально распределенная случайная величина, при уровне доверия 0,95 выяснить, может ли информация руководства о среднем размере контракта быть правильной.

По условию задачи .

Сформулируем гипотезы: , .

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Зная  и , а также с учетом того, что рассматривается правосторонняя критическая область, по таблице критических точек распределения Стьюдента найдем :

Так как , то гипотеза  о среднем размере контракта принимается. Значит, информация руководства фирмы может быть правильной. При этом вероятность того, что принятая гипотеза верна, равна уровню доверия .