Проверка статистических гипотез о параметрах известных распределений

Проверка статистических гипотез.

Статистической называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) гипотезой  называется выдвинутая гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называется гипотеза , которая противоречит нулевой.

Пример 1. Если  состоит в том, что математическое ожидание  нормального распределения равно 100, то конкурирующая гипотеза может иметь вид: , , , .

В результате проверки статистической гипотезы может быть: 1) принята гипотеза ; 2) отвергнута гипотеза  (то есть принята альтернативная ей гипотеза ).

При этом могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута гипотеза , тогда как на самом деле она верна. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята , тогда как на самом деле она неверна.

Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается . Чаще всего принимают  или . Вероятность ошибки второго рода обозначается .

Правильное решение также может быть принято в двух случаях:

1) гипотеза  принимается, причем и в действительности она верна (вероятность этого  называется уровнем доверия);

2) гипотеза  отвергается, причем и в действительности она неверна (вероятность этого  называется мощностью критерия).

Статистическим критерием называется случайная величина , которая служит для проверки гипотезы .

По имеющимся данным выборки находят наблюдаемое значение критерия .

Множество всех возможных значений критерия разбивают на два непересекающихся подмножества: критическую область и областьпринятия гипотезы, которые отделяются друг от друга критическими точками . Для каждого конкретного критерия существуют таблицы, по которым находятся критические точки.

Основной принцип проверки статистической гипотезы: если  принадлежит критической области, то гипотезу  отвергают; если  принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу  принимают.

Принятие нулевой гипотезы не означает, что она доказана. Это означает, что при заданном уровне доверия  она не противоречит имеющимся данным выборки. На практике для большей уверенности гипотезу проверяют другими способами или повторяют эксперимент, увеличив объем выборки.

Проверка статистических гипотез о параметрах известных распределений

К этому виду гипотез относятся гипотезы: 1) о числовом значении дисперсии; 2) о численной величине среднего значения; 3) о числовом значении доли признака (вероятности); 4) о равенстве средних значений; 5) о равенстве дисперсий; 6) о равенстве долей признака (вероятностей).

Рассмотрим способы проверки некоторых из этих гипотез.