Пример решения контрольной работы №2

Задание 1.

Для уравнения найти пять первых, отличных от нуля слагаемых приближённого решения.

В данном случае

, тогда

(2)

Согласно условию

тогда

;

.

Подставим найденные значения производных в формулу (2):

Сравним найденное решение с решением в квадратурах. Запишем уравнение в виде: . Его вид соответствует общему виду линейного дифференциального уравнения первого порядка, решаем его методом Бернулли: . Подставим в уравнение: . Функции и найдём как решение системы:

Решаем первое уравнение:

.

Подставим найденное решение во второе уравнение системы:

.

При нахождении неопределённого интеграла была использована формула интегрирования по частям. Тогда . Произвольную постоянную С найдём из начального условия:

; .

Для сравнения составим таблицу значений приближённого и точного решений на промежутке изменения х от - 1 до 1 с шагом 0,2.

х	- 1	- 0,8	- 0,6	- 0,4	- 0,2
	0,184	0,425	0,674	0,935	1,209	1,5
	0,1875	0,426	0,6747	0,948	1,213	1,5

 

х	0,2	0,4	0,6	0,8
	1,811	2,146	2,511	2,913	3,359
	1,8107	2,146	2,5107	2,9112	3,3542

Задание 2.Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Решение.

Решение ищем в виде ряда:

.

Согласно условию

Находим

тогда

Подставляя найденное значения производных в ряд, получим искомое решение дифференциального уравнения:

Задание 3

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию , заданную на отрезке .

Решение.

Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она раскладывается в ряд Фурье.

Ряд Фурье для функции на отрезке имеет вид:

где коэффициенты находятся по формуле:

Замечание:

Находим коэффициенты ряда:

Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

Ряд Фурье для данной функции имеет вид:

Контрольная работа № 2

Дисциплина «Дополнительные главы математики»

Направления 23.03.03.

Вариант 1.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Вариант 2.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Вариант 3.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора ,

найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию

заданную на отрезке .

Вариант 4.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Вариант 5.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора ,

найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Вариант 6.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Вариант 7.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Вариант 8.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке .

Вариант 9.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке .

Вариант 10.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

б) аналитически.

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке.

Оглавление

Ведение……………………………………………………………………………………………3

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравне - ний...........................................................................................................................................3

1.1. Основные определения и понятия………………………………………………………..3

1.2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переме -

ны…………………………………………………………………………………….……...3

1.3. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка……………….5

1.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бе -

рнулли…………………………………………………………………………………….7

1.5. Задачи на составление дифференциальных уравнений………………………………...10

1.5.1. Задачи с геометрическим. содержанием на составление дифференциальных. уравне-

ний……………………………………………………………………………….…….10

1.5.2. Задачи различного характера на составление дифференциальных уравнений……..14

1.6. Дифференциальные уравнения вида ……………………………….…......17

1.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффици -

ентами и специальной правой частью………………………………..…………….…..19

1.8. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных..21

1.9. Пример решения контрольной работы №1…………………………………...………….23

1.10. Контрольная работа №1……………………………………………………….………....28

2. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. Ряд Фурье…….….……33

2.1. Нахождение приближённого решения дифференциальных уравнений………....……..33

2.2. Тригонометрические ряд. Ряд Фурье…………………………………………….……..33

2.3 Пример решения контрольной работы №2………………………………………………..35

2.4 Контрольная работа № 2……………………………………………………………………39