Нахождение приближённого решения дифференциальных уравне- ний

Обычный путь решения дифференциальных уравнений – это решение их в квадратурах, т.е. с помощью интегрирования. Термин «квадратура» происходит от геометрического смысла определённого интеграла , который равен площади (квадратуре) криволинейной трапеции, фигуры, образованной линиями , при условии, что график последней расположен выше оси абсцисс.

Однако существуют дифференциальные уравнения, к которым такой способ решения не применим. В этом случае можно найти их решение приближённо, например, в виде суммы степенных функций:

(1)

В написанной формуле - это значение аргумента, при котором известно значение функции. Коэффициенты при степенных функциях можно найти различными способами, наверное, самый удобный – нахождение их таким же образом, как в формуле Тейлора:

, где - производная порядка , вычисленная при , при данном способе обозначения производная нулевого порядка – это сама функция.

Тогда формула (1) примет вид:

Как видим, для нахождения точного решения нужно найти бесконечное количество слагаемых. Поскольку это невозможно, ограничиваются несколькими слагаемыми, тогда решение будет найдено приближённо:

.

Тригонометрические ряд. Ряд Фурье.

Функциональный ряд называется тригонометрическим, если членами ряда являются синусы и косинусы кратных значений аргумента x, то есть ряд вида

(1)

1.Пусть функция - периодическая с периодом Рядом Фурье для функции называется тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого (коэффициенты Фурье) находятся по формулам:

Если разлагаемая в ряд Фурье функция - нечетная, то

Если функция - четная, то

Условия разложимости функции в ряд Фурье определяются следующей теоремой.

Теорема (Дирихле).

Если функция - периодическая с периодом на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для этой функции сходится для всех значениях х и сумма полученного ряда равна значению функции в точках её непрерывности. В точках разрыва функции сумма ряда равно среднему арифметическому односторонних пределов в этих точках, т.е.

где - точка разрыва.

2. Если функция - периодическая с периодом , то коэффициенты ряда Фурье

вычисляются по формулам:

Если функция - нечетная, то

Если функция - четная, то

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом .

Решение. Данная Функция удовлетворяет условиям сходимости теоремы Дирихле. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье

Функция нечетная, поэтому

Найдем коэффициент :

Таким образом,