Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

Введение

Учебно-методическое пособие написано для студентов заочной формы обучения в помощь в выполнении контрольных работ №1,2 дисциплины «Дополнительные главы математики».

Учебно-методическое пособие особенно полезно студентам, обучающимся по направлению подготовки 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов», профиль «Автомобили и автомобильное хозяйство».

В пособии в краткой форме приводится теоретический материал, необходимый для выполнения контрольных работ, задачи с решениями. Так же в пособии представлены задания контрольных работ №1,2 и примеры их решения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.

Основные определения и понятия

Дифференциальным уравнением (обыкновенным дифференциальным уравнением) называется соотношение между независимой переменной х, функцией от неё у, и производными различного порядка от этой функции, записанное в форме равенства:

В частных случаях в указанное соотношение может не входить независимая переменная или функция от неё, или и то и другое, но обязательно должна входить производная (производные), иначе данное соотношение нельзя назвать дифференциальным уравнением.

Наибольший порядок производной, входящей в уравнение, определяет и порядок уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Решение, полученное в виде: , где – произвольные константы, число которых соответствует порядку уравнения, называется общим.

Решение, полученное при наличии ряда условий, когда произвольные константы принимают вполне определенные значения, называется частным.

Решение уравнения, представленное в виде: , называется общим интегралом; при конкретных значениях произвольных констант оно называется частным интегралом.

Решение, которое нельзя получить из общего ни при каких значениях произвольных постоянных, называется особым. Заметим, что в дальнейшем нахождение особых решений уравнений не рассматривается.

График функции, являющейся решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое можно представить в виде:

(1)

или

. (1¢)

Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение.

Представим уравнение в виде: .

Чтобы разделить переменные, поделим обе части равенства на выражение , получим: .

Интегрируем обе части данного уравнения: .

Получим ответ: .

Проверим найденное решение. Следует сказать, что проверка может оказаться сложнее, чем нахождение решения, особенно, если оно получено в неявной форме. Чтобы её выполнить, нужно иметь хорошие навыки дифференцирования. Достаточно легко проверка выполняется в линейных уравнениях, т.к. их решение получается в явном виде.

Для проверки выразим из общего интеграла :

.

Продифференцируем обе части последнего равенства по :

.

Разделим обе части данного уравнения на 2 и умножим на :

, напомним, что .

Подставим полученное выражение в правую часть исходного уравнения, записанного в виде: .

.

Проверка выполнена, решение верное.

В дальнейшем проверка решений обычно не приводится, но предполагается, что она выполнена.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение.

Полагая , перепишем данное уравнение в виде .

Разделяем переменные: .

Интегрируем обе части уравнения: , или , получим – общий интеграл.

Теперь найдем С. Положим , тогда Þ .

Подставляя значение в выражение общего интеграла, найдем частный интеграл уравнения: .

Во многих практических задачах решение нужно получить в явном виде и для его проверки и для анализа поведения той функции, для нахождения которой и было составлено дифференциальное уравнение. Покажем на примере данного уравнения, как это можно сделать.

Умножим обе части написанного равенства на 2, получим: или , тогда . Чтобы избавиться от логарифма, применим обратную функцию – показательную, такая операция называется потенцированием: