Задачи различного характера на составление дифференциаль ных уравнений

При решении таких задач для составления уравнения используют соотношение между малым изменением (дифференциалом) одной величины (функции) и соответствующим малым изменением (дифференциалом) другой величины, которая рассматривается как независимая переменная. В качестве такой независимой переменной часто выступает время. Отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной (производная) имеет смысл скорости изменения функции, это понятие также часто используется при составлении дифференциальных уравнений. Кроме того, решение задач из физики, химии, биологии и тому подобное, естественно требует некоторых знаний из соответствующих тем.

Пример 1. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый данный момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна A₀. а) Найти зависимость стоимости оборудования от времени; б) найти стоимость оборудования в момент времени , если известна его стоимость в момент времени .

Решение.

а) Обозначим - стоимость оборудования в момент времени t. Пусть за промежуток времени dt стоимость уменьшилась на величину dA. Тогда скорость обесценивания равна . Т.к. она пропорциональна фактической стоимости, то можно написать ; , где - коэффициент пропорциональности, знак минус отражает тот факт, что стоимость уменьшается.

Решим составленное уравнение:

Þ

Þ Þ .

При .

Тогда .

б) Используя условие , найдем коэффициент пропорциональности. Þ Þ Þ .

Тогда .

Пример 2. Некоторое вещество преобразуется в другое со скоростью, пропорциональной количеству не преобразованного вещества. По истечении времени t₁первого вещества было m₁, по истечение времени t₂ – m₂. Найти массу вещества в начале процесса; через какое время после начала реакции останется 1% исходного вещества?

Решение.

Пусть m₀ - исходное количество вещества при t = 0,

m(t) - количество не преобразованного вещества в момент времени t.

Если за промежуток времени dt преобразуется dm первого вещества, то скорость преобразования .

По условию задачи , где - коэффициент пропорциональности; ; ,

Решаем уравнение: ; Þ .

При t = 0 , .

; , ; ;.

, , разделим ;

Þ ;

.

Для нахождения m₀ возьмем t = t₁.

Þ .

Для ответа на второй вопрос запишем:

; ; .

Пример 3. Задача истечения жидкости из сосуда через малое отверстие.

В общем виде задача формулируется следующим образом. Имеется сосуд, площадь поперечного сечения которого есть известная функция высоты уровня жидкости над отверстием, поперечное сечение – сечение, проведённое перпендикулярно оси симметрии сосуда. Сосуд (резервуар, бак) наполнен жидкостью до уровня . В момент времени жидкость начинает вытекать из сосуда через малое отверстие площади в самой нижней части сосуда. Определить время , за которое уровень жидкости понизится до значения .

Решение.

Решение задачи основано на том, что изменение объема жидкости за небольшое время , связанное с понижением её уровня в сосуде, равно объёму жидкости, вытекающему за это время из отверстия. Изменение объёма, связанное с понижением уровня равно , - изменение уровня за время , знак минус отражает тот факт, что объём уменьшается. Количество жидкости, вытекающей из сосуда, равно , где - скорость жидкости, вытекающей из сосуда. Согласно формуле Торричелли: . В этой формуле - ускорение свободного падения, приближённо равное 9,81 , - коэффициент расхода, который определяется эмпирически, т.е. опытным путём, и зависит от жидкости. Для воды этот коэффициент примерно равен 0,62, для керосина – 0,6. Учитывая всё сказанное, получим уравнение:

.

При изменении высоты уровня от до время изменится от 0 до . Поэтому:

.

Вычисление интеграла в правой части зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость, размеров и формы отверстия, через которое она вытекает. Для примера рассмотрим следующую задачу.

Цилиндрический резервуар длиной l и радиусом R расположен горизонтально. За какое время вода полностью вытечет из резервуара, если отверстие радиуса r находится на уровне самой нижней из образующих цилиндра.

В данной задаче площадь поперечного сечения S(h) представляет собой прямоугольник, одна сторона которого фиксирована и равна l, другая зависит от h, назовем её d. Из рисунка видно, что

;

,

.

Тогда время истечения воды из резервуара равно:

.

В частности, при = 1 м, = 2 м, = 2,5 см, получим:

1.6. Дифференциальные уравнения вида

Общее решение получается путем n-кратного интегрирования. По определению, производная порядка п это производная от производной предыдущего порядка : . Используя это определение, исходное уравнение можно записать в виде:

Þ Þ Þ .

Используя , получим Þ Þ Þ .

Понижение порядка уравнения продолжается до тех пор, пока не получим саму функцию y.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Общее решение получается путем двукратного интегрирования данного уравнения.

1) , ,

.

2) , ,

.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение.

Запишем уравнение в виде .

Þ Þ .

Найдем : Þ .

Следовательно: , Þ Þ

. (При нахождении использован метод интегрирования по частям.) Найдем : Þ .

Следовательно: .

Þ Þ

. (Снова использован метод интегрирования по частям.) Найдем : Þ .

Ответ: .