Определение периодических несинусоидальных токов и напряжений

Периодическими несинусоидальными токами и напряженияминазывают токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Они возникают при четырех различных режимах работы электрических цепей (и при сочетаниях этих режимов):

1) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а все элементы цепи — резистивные, индуктивные и емкостные - линейны, т. е. от тока не зависят;

2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейны;

3) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальнуюЭДС (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов;

4) если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидальную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи периодически изменяются во времени.

В данной главе рассматриваются методика расчета и особенности работы линейных электрических цепей при воздействии на них несинусоидальных ЭДС и токов - первый из перечисленных режимов работы.

Изображение несинусоидальных токов и напряжений с
помощью рядов Фурье.

Из курса математики известно, что любую периодическую функцию с периодом 2π, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить в тригонометрический ряд Фурье.

Функциональный ряд вида:

(4.1)

называется тригонометрическим рядом, а постоянные (n = 1, 2,…) называются коэффициентами тринонометрического ряда (4.1).

Частичные суммы тригонометрического ряда (4.1) являются линейными комбинациями функций из системы функций которая называется тригонометрической сиситемой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом 2π, то в случае сходимости ряда (1) его сумма будет периодической функцией с периодом : (-∞ +∞).

Определение.Разложить периодическую функцию с периодом =2π в тригонометрический ряд (4.1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции . Ортогональность тригонометрической системы

Определение.Функции и , непрерывные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие (4.2) Например, функции f(x) = x и g(x) = ортогональны на отрезке [-1, 1], так как

Нами было введено определение. Конечная или бесконечная система функций

где ≠ 0 (n = 1, 2,…), интегрируемых на отрезке [a, b], если для любых номеров m и n таких, что m ≠ n, выполняется равенство

Теорема 1. Тригонометрическая система

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx,…

ортогональна на отрезке [-π,π].

При любом целом n ≠ 0 имеем

= 0, (4.3)
С помощью известных формул тригонометрии
для любых натуральных m и n, m ≠ n, находим:

Наконец, в силу формулы для любых целых m и n получаем

При m = n имеем

(4.7)

Тригонометрический ряд Фурье

Поставим себе задачей вычислить коэффициенты (n = 1, 2,…) тригонометрического ряда (1), зная функцию f(x).

Теорема 2.Пусть равенство

имеет место для всех значений для всех значений х, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке [- ]. Тогда справедливы формулы

(n=0, 1, 2, …), (4.8)

(n=0, 1, 2, …) (4.9)

Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции . Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать. Имеем

(4.10)

или

откуда и следует первая из формул (4.10) для n=0.

Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию cos mx, где m – произвольное натуральное число:

(3)

Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,

Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при n=m, равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому

(4.11)

откуда

m=1, 2, … (4.12)

Аналогично, умножая обе части равенства (1) на sin mx и интегрируя от - до , получим

откуда

m=1, 2, … (4.13)

Пусть дана произвольная периодическая функция периода 2 , интегрируемая на отрезке [- ]. Можно ли ее представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные и .

Определение.Тригонометрический ряд

коэффициенты которого определяются через функцию по формулам

n=0, 1, 2, …, (4.14)

n=1, 2, …, (4.15)

называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции .

Каждой интегрируемой на отрезке [- ] функции можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции f (x) не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства.

Замечание. Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию f (x), определенную только на отрезке и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (4.10) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку , то для такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию f (x) периодически на всю ось Ox, то получим функция F(x), периодическую с периодом 2 , совпадающую с f (x) на интервале