Математические модели элементарных измерительных сигналов

К элементарным измерительным сигналам отно­сятся постоянный во времени сигнал и сигналы, опи­сываемые единичной и синусоидальной функциями, а также дельта-функцией.

Постоянный сигнал — самый простой из элемен­тарных сигналов, описываемый математической мо­делью вида , где — единственный параметр сигнала. Графики временной и частотной моделей по­стоянного сигнала приведены на рис. 3.3.

Единичная функция, называемая иногда функцией Хевисайда, описывается уравнением

(3.15)

Она имеет один параметр — момент времени . Ее временная и частотная модели представлены на рис. 3.4, а.

при одновременном условии

площадь импульса

Функция называется единичным импульсом, импульсной функцией или дельта функцией (а также функцией Дирака).

Применительно к исходным, изображенным на рис. 3.2. б, в, дельта – функция должна быть определена выражениями

(3.17) (3.18)

Возможны и другие многочисленные определения .

При сдвиге импульса по оси на величину , определения должны быть записаны в более общей форме:

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

Функция обладает важными свойствам, благодаря которым она получила широкое распространение в математике, физике и технике.

Из определений вытекает основное соотношение

(3.23)

Так как по определению функция равна нулю на всей оси , кроме точки (где она бесконечно велика), то промежуток интегрирования может быть сделан сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку . В этом промежутке функция принимает постоянное значение , которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции на позволяет приравнять интеграл произведения значению в точке .

В математике соотношение называется фильтрующим свойством дельта – функции.

В теории сигналов приходится иметь дело с дельта – функциями от аргументов или , в зависимости от того в какой области рассматривается функция – во временной или частотной.

Рассмотрим сначала свойства функции . В этом случае основное значение имеет спектральная характеристика дельта – функции. При сокращении длительности прямоугольного импульса (неизменной амплитуды) ширина основного лепестка спектральной плотности увеличивается, а величина быстро уменьшается. В данном же случае, когда сокращение длительности импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды, величина спектральной плотности остается неизменной и равной величине для всех частот . То же само имеет место при укорочении любого из дельтообразных импульсов.

Следовательно, спектральная плотность дельта – функции вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает, что фазовая характеристика дельта – функции равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие единичного импульса, суммируясь с нулевыми начальными фазами, образуют пик бесконечно большой величины в момент времени .

Аналогично функция , определяющая единичный импульс в момент х₀, обладает спектральной плотностью . Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а фазовая характеристика .

Найденная ранее величина спектральной плотности дельта – функции может быть получена и формально, с помощью преобразования Фурье

(3.24)

Применяя свойство, получаем

(3.25)

В частном случае , .

Можно, очевидно, и представить в виде обратного преобразования Фурье от :

. (3.26)

Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля.

Гармонический сигнал описывается уравнением

(1.5)

Параметрами та­кого сигнала явля­ются: амплитуда Y_m, период Т (или час­тота f= 1/T, или круговая частота w) и начальная фаза φ. График временной модели общеизвес­тен, а график час­тотной модели такого сигнала показан на рис. 3.5.