Квантование и дискретизация измерительных сигналов

По характеру изменения информативного пара­метра сигналы делятся на четыре группы;

1. Сигналы, непрерывные по времени и размеру, — наиболее распространенные (см. рис. 3.2, а, 3.9). Они чаще всего встречаются в практике измерений, поскольку все первичные природные сигналы макро­мира непрерывны по времени и размеру. Такие сиг­налы определены в любой момент времени существования сигнала и могут принимать любые значения в диапазоне его изменения.

Рис. 3.9. Исходный непрерывный

сигнал (1) и сигнал непрерывный по времени и квантованный по размеру (2}

Сигналы, непрерывные по времени и квантованные по размеру, получаются из сигнала, непрерывного по времени и размеру, посредством его квантования.

Кван­тование — измери­тельное преобразо­вание непрерывно изменяющейся ве­личины в ступенча­то изменяющуюся с заданным размером ступени q — кван­том. В результате проведения этой опе­рации непрерывное множество значений сигнала Y(t) в диапа­зоне от Y_min до Y_max преобразуется в дискретное множество значений Y_M(t) Квантование широко применя­ется в измерительной технике. Существует большая группа естественно квантованных физических вели­чин. К ним относятся электрический заряд, квантом которого является заряд электрона, масса тела, кван­том которой является масса молекулы или атома, со­ставляющих данное тело, и др.

Процесс квантования описывается уравнением

(3.33)

где N(t_i) — число квантов; l(t-t_i) — единичная функция,

Любой процесс измерения по сути своей есть процесс квантования. Например, при измерении длины тела линейкой с миллиметровыми делениями определяется целое число миллиметров, наиболее близкое к истинному размеру тела. В данном случае в роли кванта выступает миллиметр. При использовании микрометра квантом является величина, равная 1СГ⁶м.

Погрешность квантования∆ — методическая по­грешность отражения непрерывной величины огра­ниченным по числу разрядов числом. Она равна раз­ности между значением непрерывной функции и зна­чением, полученным в результате квантования;

Погрешность квантования подчиняется равно­мерному, закону распределения с основанием, равным q. Ее СКО при всех видах равномерного квантования σ(∆)=q/(2√3).

Сигналы, дискретизированные по времени и непре­рывные по размеру, получаются из непрерывных по времени и размеру сигналов посредством дискретиза­ции. Дискретизация— измерительное преобразование непрерывного во времени сигнала в последовательность мгновенных значений этого сигнала ,соответствующих моментам времени ,где = 1, 2... Интервал времени называется шагом дискрети­зации, а обратная ему величина – частотой дискретизации.

Процесс дискретизации непрерывного сигнала показан на рисунке

Рис. 3.10. Дискретизация непрерывного сигнала (а): исходный непрерывный сигнал (1), сигнал, дискретизированный по времени и непрерывный по размеру (2), и восстановленный при помощи поли­нома Лагрэкжа нулевой степени непрерывный во времени сигнал (3) и погрешность восстановления (б)

Математически он описывается с помощью дельта функции , которая, как из­вестно, обладает стробирующим действием. Идеаль­ный дискретизированный сигнал является после­довательностью импульсов нулевой длительности и аналитически может быть представлен в виде

(3.34)

где Y(k∆t) — значение непрерывного сигнала в каждой точке дискретизации.

Дискретизация бывает равномерной и неравномерной( — переменная величина). Частота дискретизации выбирается на основе априорных све­дений о характеристиках дискретизируемого сигнала. На практике наибольшее распространение получила равномерная дискретизация. Это объясняется тем, что алгоритмы дискретизации и последующего вос­становления сигнала и реализующая их аппаратура относительно просты. Однако при недостаточности априорных данных о характеристиках сигнала воз­можна значительная избыточность отсчетов.

В дискретизированном сигнале отсутствуют про­межуточные значения, которые содержались в исход­ном непрерывном сигнале. Однако часто принципи­ально необходим непрерывный сигнал. Поэтому во многих случаях дискретизированный сигнал требуется преобразовать в непрерывный, т. е. восстановить его промежуточные значения. Задача восстановления дискретизированных сигналов в общем случае аналогична задаче интерполирования функций. При восстановле­нии исходного сигнала по совокупности выборок формируется обобщенный многочлен

(3.35)

где — система базисных функций, которая обыч­но является ортогональной или ортонормированной; — коэффициенты ряда. Его значения в точках дис­кретизации совпадают со значениями непрерывной функции. В ряде случаев при формировании восста­навливающего многочлена накладывается условие совпадения производных до заданного порядка п включительно.

При восстановлении непрерывный сигнал на ка­ждом из участков между соседними дискретными значениями заменяется кривой, вид которой определя­ется выбранными базисными функциями. Восстанов­ление непрерывного сигнала из дискретизированного должно проводиться с возможно меньшей заданной погрешностью. Для этого необходимо соответствую­щим образом выбрать для данного участка сигнала восстанавливающую базисную функцию.

Коэффициенты ряда и базисные функции могут выбираться на основе различных критериев, например: наибольшего отклонения, минимума по­грешности или совпадения значений восстанавливае­мого непрерывного сигнала с мгновенными значения­ми дискретизированного сигнала. В измерительной технике наиболее широко используется последний критерий, так как он удобен для аналитического вос­становления с помощью компьютера на основе резуль­татов измерения мгновенных значений дискретизиро­ванного сигнала, отличается простотой реализации и достаточно высокой точностью.

Восстановление сигнала в данном случае регули­руется теоремой Котельникова, которая формулирует­ся следующим образом: если функция Y(t), удовле­творяющая условиям Дирихле — ограничена, кусоч­но-непрерывна, имеет конечное число экстремумов — и обладающая спектром с граничной частотой , дискретизирована циклически с периодом , меньшим или равным т. е. , то она может быть вос­становлена по всей этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности.

Если теорема Котельникова выполняется, то не­прерывный сигнал может быть восстановлен как сумма базисных функций — рядом Котельникова:

(3.36)

где — круговая граничная частота спектра не­прерывного сигнала ; — период дискретизации; - функция отсчетов.

Ряд Котельникова является одним из примеров обобщенного ряда Фурье и замечателен тем, что его коэффициенты равны мгновенным дискретизированным значениям сигнала и поэтому определя­ются наиболее простым способом.

Погрешность восстановления дискретизированных сигналов равна разности между значениями непре­рывной исходной функции и восстанавливающей функции. Она существенным образом зависит от вида используемой базисной функции.

Погрешность восстановления зависит от закона изменения дискретизируемой функции, выбранных восстанавливающих полиномов и величины шага или частоты дискретизации. Чем менее гладкой и монотонной является дискретизируемая функция (т. е, чем больше в ее спектральном составе высших гармоник), тем больше, при прочих равных условиях, погреш­ность восстановления.

Погрешность восстановления доводят до требуе­мой величины главным образом соответствующим выбором шага дискретизации. Очевидно, что при его уменьшении погрешность восстановления снижается.

Методика расчета зависит от применяемых ба­зисных функций. При использовании ряда Котельникова частота дискретизации рассчитывается по фор­муле , где — коэффициент запаса, выбирае­мый из диапазона (1,5—6) и учитывающий неограниченность спектра реальных сигналов; — максимальная частота в спектре сигнала.

Сигналы, дискретизированные по времени и кванто­ванные по размеру, согласно приведенной классификации являются цифровым сигналами. На практике они формируются цифроаналоговыми преобразователями. Последние фактически являются управляемыми цифровым кодом мерами, выходной сигнал которых подвергнут дискретизации. Следова­тельно, в этих устройствах параллельно осуществля­ются два процесса преобразования измерительной информации: дискретизация и квантование. Их сов­местное действие описывается математическим вы­ражением

(3.37)

где — цифровой код (число квантов), соответ­ствующий моменту .

.

Рис. 3.11. Исходный непрерывный сигнал (1), сигнал,дискретизированный по времени и квантованный по уровню (2),

и восстановленный непрерывный сигнал (3)

Значения сигнала, дискретизированного по вре­мени и квантованного по уровню, определены только в моменты, кратные периоду дискретизации ∆t. По­этому имеет место задача формирования непрерывно­го сигнала по данным значениям. Эта задача анало­гична рассмотренной задаче восстановления дискретизированного сигнала. Отличие состоит в том, что последний равен исходному непрерывному сигналу, а квантованный и дискретизированный сигналы отли­чаются от него, но не более чем на величину кванта q. Вследствие этого погрешность состоит из двух со­ставляющих, обусловленных процессами дискретиза­ции и квантования.