Лекция 7 -8. Элементы векторной алгебры

Величины, например, сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор - это направленный отрезок. Если А - начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается (- ).

Длиной вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Для нулевого вектора направление не определено. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора . Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства, то есть векторы определены с точностью до параллельного переноса.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами обычно понимают операции сложения и умножение вектора на число.

Геометрическая интерпретация. Пусть и два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим из нее вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Аналогично происходит сложение нескольких векторов

Под разностью векторов и понимается вектор . На практике вектора и откладывают из одной точки, концы соединяют. Вектор имеет направление «к концу вектора ».

Отметим, что в параллелограмме (рис.), построенном на векторах и одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая - разностью.

Произведением вектора на скаляр (число) λ называется вектор , который имеет длину вектора , умноженную на λ, а направление - совпадающее с направлением вектора , если λ>0, и противоположное направлению вектора , если λ<0.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

; 2) ;

3) ; 4) ;

5) , которые вполне аналогичны свойствам элементов линейного пространства.

Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Оz единичные векторы (орты), обозначаемые , соответственно. Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим, соответственно, через М₁, М₂, М₃. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда пр_х = , пр_у = , пр_z = . По определению суммы нескольких векторов находим

. Так как , , то = + + .

Обозначим проекции вектора на оси соответственно через а₁, а₂, а₃, тогда . (9)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а₁, а₂, а₃ называются координатами вектора , то есть координаты вектора есть его проекции на координатные оси.

Векторное равенство (9) часто записывают в координатном виде: .

Пусть углы вектора с осями Ох, Оу, Оz соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось имеем:

, , . Или, что тоже самое: , , . (10)

Числа , , называются направляющими косинусами вектора .

Координаты вектора.Найдем координаты вектора , если известны координаты точек А(х₁, у₁, z₁) и

В(х₂, у₂, z₂). Имеем: .

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Длина вектора Если известны координаты точек А(х₁, у₁, z₁) и В(х₂, у₂, z₂), то длина вектора находится по формуле:

.

Базис системы векторов

Определение. Система векторов , , называется линейно зависимой, если существуют такие константы , , , не все не равные нулю, что имеет место равенство: .

Если из этого равенства с необходимостью следует, что , то система называется линейно независимой.

Определение. Базисом в 3-х мерной системе координат называется любая упорядоченная система из трех линейно независимых векторов пространства.

Теорема 1. Векторы , , образуют базис, если D¹0, где .

Если векторы , , образуют базис, а вектор представляется в виде: , тогда числа , , называются координатами вектора в базисе , , , то есть .

Определение. Совокупность всех 3-х мерных векторов с действительными координатами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, образует 3-х мерное векторное пространство.