Приближение слабой связи

В качестве исходного состояния (нулевого приближения) выбирается энергетический спектр свободного электрона (рис. 7.2), а периодический потенциал кристаллической решетки рассматривается как малое возмущение.

Исходное уравнение:

Из теории возмущений (без учета вырождения) поправки к энергии первого порядка определяются диагональным матричным элементом матрицы оператора возмущений:

, (7.48)

т.е. результат аналогичен приближению сильной связи, так как – это среднее значение оператора возмущений.

Поправка второго порядка:

(7.49)

Рис. 7.2. Энергия свободного электрона в одномерном кристалле при равной нулю амплитуде периодического потенциала

С помощью этой поправки вычисляется поправка первого порядка волновой функции:

(7.50)

Недиагональные матричные элементы:

(7.51)

Чтобы найти явный вид матричных элементов оператора возмущения, представим в виде разложения в ряд Фурье по обратной решетке:

(7.52)

Для кубической решетки

Недиагональный матричный элемент (7.51) в единице объема:

(7.53)

Таким образом, недиагональные матричные элементы могут быть равны нулю или при . Тогда поправка второго порядка:

(7.54)

Волновая функция

(7.55)

Эти условия означают, что вдали от особых точек энергия электрона в кристалле не отличается от энергии свободного электрона и только в особых точках возмущение со стороны кристаллической решетки велико. Эти точки определяют границы зон Бриллюэна (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Энергетический спектр электронов в кристалле в приближении слабой связи

Условие (7.55) соответствует вырождению, когда одному значению энергии соответствуют две волновые функции и . Это означает, что уже в нулевом приближении необходимо учитывать обе волновые функции, т.е. рассматривать теорию возмущений с учетом вырождения. Нулевое приближение вырожденного состояния:

(7.56)

без вырождения b = 0.

Снова находим , но с учетом вырождения (7.56):

(7.57)

Обозначим , , с учетом вырождения (7.56) уравнение (7.57) имеет вид:

(7.58)

(7.59)

(7.60)

Нетривиальное решение системы (7.60) возможно, если детерминант равен нулю:

(7.61)

Учитывая U₁₁ = U₂₂ = <U> ® 0, из (7.61) имеем:

(7.62)

(7.63)

(7.64)

1. В первом приближении спектр энергии свободного электрона понижается на величину <U> без изменения зависимости .

2. При наложении возмущения со стороны кристаллической решетки на свободное движение электрона энергия электрона терпит разрыв на границах зоны Бриллюэна . В этих точках .

3. В результате разрыва энергии имеем зоны разрешенных и запрещенных энергий.

4. Все электрофизические свойства кристалла можно рассматривать в пределах первой зоны Бриллюэна.