Уравнения прямой на плоскости

Прямая – одна из простейших геометрических фигур. Алгебраическое уравнение прямой также имеет простой вид. Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение вида , где , точка лежит на прямой образующей с положительным направлением оси угол . Если , то прямая проходит через начало координат. Если , то и прямая параллельна оси ордината точки пересечения прямой с осью . Если , то не существует и прямая параллельна оси , – абсцисса точки пересечения прямой с осью . Общее уравнение прямой Общим уравнением прямой называется уравнение вида

,

где – произвольные числа, причем .

Частные случаи:

Если и , то общее уравнение прямой имеет неполный вид и определяет прямую проходящую через начало координат .

Если и , то и определяет прямую параллельную оси ( ,

Если и , то – прямая параллельная оси .

Если , то прямая совпадает с осью .

Если , то прямая совпадает с осью .

При общее уравнение прямой можно записать в виде:

Уравнение прямой в отрезках

Преобразуем общее уравнение прямой следующим образом: перенесем в правую часть , разделим на получим получаем уравнением прямой в отрезках которое имеет вид:

, где абсцисса точки пересечения прямой с осью ордината точки пересечения с осью . Поэтому называют отрезками прямой на осях координат. Формулу удобно использовать для построения прямой. Для построения прямой достаточно взять две ее точки: при

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно вектору . Тогда вектор , где – произвольная точка прямой, перпендикулярен (или, еще говорят, ортогонален) вектору

Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению .

Определение. Вектор называется нормалью к прямой или нормальным вектором.

Раскрыв скобки в уравнении и приведя подобные получаем приняв , получаем общее уравнение прямой .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение прямой)

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору . Тогда вектор , где – произвольная точка прямой, коллинеарен вектору – направляющему вектору прямой и координаты любой точки прямой удовлетворяют каноническому уравнению прямой

.

Уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным направлением называется уравнение вида , где .