Системы линейных однородных уравнений

Векторы. Основные понятия

Определение. Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом – числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Определение геометрического вектора. Вектором называется направленный отрезок. Если указано, какая из данных точек является началом, а какая – концом, то вектор обозначается символом или .

Определение. Алгебраический вектор задается как совокупность координат, и непосредственно не связан с прямоугольными системами отсчета. Обозначают алгебраический вектор малыми латинскими буквами и т.д., координаты алгебраического вектора можно записывать в виде на плоскости и в пространстве. По существу, геометрический вектор в операционном исчислении абсолютно сходен с алгебраическим и различается с ним только в практическом приложении.

Определение. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают, обозначаются символом .

Определение. Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными ( .

Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Определение. Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными. Из определения равенства векторов следует, что для любого вектора и любой точки , всегда можно построить единственный вектор с началом в точке , равный вектору , т.е. . Говорят, что вектор перенесли в точку . Определение. Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называется свободным. Обычно в векторной алгебре рассматриваются свободные векторы. Определение. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называютсякомпланарными. Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов. Определение. Векторы, направленные противоположно и имеющие разные длины, называются противоположными.

Обозначается: .

Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называется углом между векторами .

Длина вектора называется модулем вектора, обозначается . Если , то вектор называется единичным.

Определение. Единичный вектор , имеющий одинаковое направление с данным вектором называется его ортом.

Линии на плоскости. Основные понятия.

Линия на плоскости – множество точек плоскости, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.

Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение , если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать параметрическими уравнениями где и – непрерывны по параметру . Чтобы перейти от параметрических уравнений к уравнению вида надо из двух уравнений исключить параметр .

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл: при перемещении точки на плоскости указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия – траекторией точки, параметр при этом есть время.